1. Даны точки A (3; -2), B (1; -1) и C (-1; 1). Найдите:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Подготовка к Контрольная работа
Вариант

1. Даны точки $A(3; -2)$, $B(1; -1)$ и $C(-1; 1)$. Найдите:

1. координаты векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$;

2. модули векторов $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$;

3. координаты вектора $\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$;

2. Найдите длину отрезка $MN$ и координаты его середины, если $M(-4; 3)$ и $N(6; -5)$.

3. Найдите координаты вершины $C$ параллелограмма $ABCD$, если $A(-3; 3)$, $B(-1; 4)$, $D(8; 1)$.

4. Начертите треугольник $ABC$. Постройте вектор:

1. $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$; 2) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$; 3) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек $D(1; 10)$ и $K(7; 8)$.

6. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек $A(-5; 2)$ и $B(-3; 6)$.

Answer

Я решил весь вариант.

Краткие ответы

1.
1. $\overrightarrow{BA}=(2;-1)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;2)$;

2. $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt5$, $|\overrightarrow{BC}|=2\sqrt2$;

3. $\overrightarrow{MP}=(10;-6)$.

2. $MN=2\sqrt{41}$; середина $MN$ — точка $(1;-1)$.

3. $C(10;2)$.

4.
1. $\overrightarrow{CB}$; 2) $\overrightarrow{AC}$; 3) диагональ параллелограмма, построенного на $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$.

5. $(1;0)$.

6. $(0;2)$.

Почему так получается

1. Координаты вектора $PQ$ находятся как «конец минус начало»:
$$
\overrightarrow{BA}=A-B=(3-1;-2-(-1))=(2;-1),
$$
$$
\overrightarrow{BC}=C-B=(-1-1;1-(-1))=(-2;2).
$$
Модуль вектора:
$$
|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5,
$$
$$
|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2.
$$
Тогда
$$
\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}
=4(2;-1)-(-2;2)=(10;-6).
$$

2. Длина отрезка:
$$
MN=\sqrt{(6-(-4))^2+(-5-3)^2}
=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}.
$$
Середина отрезка — среднее координат:
$$
\left(\frac{-4+6}{2};\frac{3-5}{2}\right)=(1;-1).
$$

3. В параллелограмме $ABCD$ середины диагоналей совпадают, поэтому
$$
A+C=B+D.
$$
Отсюда
$$
C=B+D-A=(-1;4)+(8;1)-(-3;3)=(10;2).
$$
Проверка: $\overrightarrow{BC}=(11;-2)=\overrightarrow{AD}$, значит, $ABCD$ действительно параллелограмм.

4. Используем правила сложения и вычитания векторов:
$$
\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB},
$$
$$
\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}
=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}
=\overrightarrow{AC}.
$$
Для третьего вектора $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ достройте на сторонах $BA$ и $BC$ параллелограмм; его диагональ, выходящая из $B$, и есть искомая сумма.

5. Точка на оси абсцисс имеет координаты $(x;0)$. Приравниваем квадраты расстояний до $D(1;10)$ и $K(7;8)$:
$$
(x-1)^2+10^2=(x-7)^2+8^2.
$$
После раскрытия скобок:
$$
-2x+101=-14x+113,
$$
$$
12x=12,\qquad x=1.
$$
Ответ: $(1;0)$. Проверка: расстояния до $D$ и $K$ равны $10$.

6. Точка на оси ординат имеет вид $(0;y)$. Приравниваем квадраты расстояний до $A(-5;2)$ и $B(-3;6)$:
$$
5^2+(y-2)^2=3^2+(y-6)^2.
$$
Получаем:
$$
-4y+29=-12y+45,
$$
$$
8y=16,\qquad y=2.
$$
Ответ: $(0;2)$. Проверка: расстояния до $A$ и $B$ равны $5$.