что такое устройство степени с целым показателем, объясни.

Кратко. Степень с целым показателем — это выражение \(a^n\), где \(a\) — основание, а \(n\) — целое число: \(\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\). «Устроена» она так: при натуральном показателе это произведение одинаковых множителей, а нулевая и отрицательная степени вводятся так, чтобы сохранились обычные свойства степеней.

1. Натуральный показатель

\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ множителей}},\qquad a^1=a \] Например, \(3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\).

2. Нулевой показатель

\[ a^0=1 \quad (a\ne 0) \] Смысл: \(a^3:a^3=1\), но по правилу деления степеней \(a^{3-3}=a^0\). Значит, чтобы правило не ломалось, считаем \(a^0=1\).

3. Отрицательный показатель

\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (a\ne 0) \] Например: \[ 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8},\qquad \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^2=9 \] Отрицательный показатель — не «минус в ответе», а «перевернуть дробь».

4. Свойства (для целых \(m,n\) и \(a,b\ne 0\))

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n} \] \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \] Именно ради этих свойств и вводят нулевую и отрицательную степени — тогда формулы работают при любых целых показателях, а не только при натуральных.

5. Что важно не забыть

• \(0^0\) и \(0^{-n}\) не определены; \(0^n=0\) при натуральном \(n\).
• Знак результата при отрицательном основании зависит от чётности показателя: \((-2)^{-2}=\frac{1}{4}\), но \((-2)^{-3}=-\frac{1}{8}\).

Проверка на примере

\[ 2^{-3}\cdot 2^{5}=2^{-3+5}=2^{2}=4 \] Считаем напрямую: \(\frac{1}{8}\cdot 32=4\). Совпало — свойства работают.