Вариант 3 К—3 (§ 5) 1. Решите уравнение: а) x³ - 36x = 0; б) (x² - 1)/6 - (x - 1)/4 = 3.

Понял — распишу каждый номер подробно, с ОДЗ и проверкой корней.

1. Решите уравнение

а) \(x^3-36x=0\)

Вынесем общий множитель: \[ x(x^2-36)=0 \] Разложим разность квадратов: \[ x(x-6)(x+6)=0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x=0,\quad x=6,\quad x=-6. \]

Ответ: \(x=0;\ 6;\ -6\).

---

б) \(\dfrac{x^2-1}{6}-\dfrac{x-1}{4}=3\)

Умножим обе части на \(12\), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 2(x^2-1)-3(x-1)=36 \] Раскроем скобки: \[ 2x^2-2-3x+3=36 \] \[ 2x^2-3x+1=36 \] \[ 2x^2-3x-35=0 \] Найдём дискриминант: \[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-35)=9+280=289=17^2 \] Тогда: \[ x_{1,2}=\frac{3\pm17}{4} \] \[ x_1=\frac{20}{4}=5,\qquad x_2=\frac{-14}{4}=-\frac72 \]

Ответ: \(x=5;\ -\dfrac72\).

---

2. Решите биквадратное уравнение

\[ x^4-29x^2+100=0 \]

Сделаем замену: \[ t=x^2,\quad t\ge0 \] Получим квадратное уравнение: \[ t^2-29t+100=0 \] Дискриминант: \[ D=(-29)^2-4\cdot1\cdot100=841-400=441=21^2 \] Тогда: \[ t_{1,2}=\frac{29\pm21}{2} \] \[ t_1=25,\qquad t_2=4 \] Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=25 \Rightarrow x=\pm5 \] \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]

Ответ: \(x=\pm2;\ \pm5\).

---

3. При каких \(a\) значение дроби равно нулю?

\[ \frac{a^3+108-3a^2-36a}{a^2-9}=0 \]

Сначала найдём ОДЗ: знаменатель не равен нулю. \[ a^2-9\ne0 \] \[ (a-3)(a+3)\ne0 \] Значит, \[ a\ne3,\quad a\ne-3. \]

Разложим числитель на множители: \[ a^3-3a^2-36a+108 \] Сгруппируем: \[ a^2(a-3)-36(a-3) \] \[ (a-3)(a^2-36) \] \[ (a-3)(a-6)(a+6) \]

Получаем: \[ \frac{(a-3)(a-6)(a+6)}{(a-3)(a+3)}=0 \] Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Нули числителя: \[ a=3,\quad a=6,\quad a=-6 \] Но \(a=3\) не входит в ОДЗ, поэтому остаются: \[ a=6,\quad a=-6 \]

Ответ: \(a=\pm6\).

---

4. Решите уравнение

а)

\[ \frac{5y-6}{4y^2-9}-\frac{3-3y}{3+2y}=\frac{3}{2y-3} \]

Разложим знаменатель: \[ 4y^2-9=(2y-3)(2y+3) \] и учтём, что \(3+2y=2y+3\).

ОДЗ: \[ 2y-3\ne0,\quad 2y+3\ne0 \] \[ y\ne\frac32,\quad y\ne-\frac32 \]

Умножим обе части на \((2y-3)(2y+3)\): \[ 5y-6-(3-3y)(2y-3)=3(2y+3) \]

Раскроем скобки: \[ (3-3y)(2y-3)=-6y^2+15y-9 \] Тогда: \[ 5y-6+6y^2-15y+9=6y+9 \] \[ 6y^2-10y+3=6y+9 \] \[ 6y^2-16y-6=0 \] Разделим на \(2\): \[ 3y^2-8y-3=0 \] Дискриминант: \[ D=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-3)=64+36=100=10^2 \] \[ y_{1,2}=\frac{8\pm10}{6} \] \[ y_1=3,\qquad y_2=-\frac13 \]

Оба значения входят в ОДЗ.

Ответ: \(y=3;\ -\dfrac13\).

---

б)

\[ (x^2-x+1)(x^2-x-2)=378 \]

Сделаем замену: \[ t=x^2-x \] Тогда уравнение примет вид: \[ (t+1)(t-2)=378 \] Раскроем скобки: \[ t^2-t-2=378 \] \[ t^2-t-380=0 \] Дискриминант: \[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-380)=1+1520=1521=39^2 \] \[ t_{1,2}=\frac{1\pm39}{2} \] \[ t_1=20,\qquad t_2=-19 \]

Возвращаемся к \(x\).

Случай 1: \[ x^2-x=20 \] \[ x^2-x-20=0 \] \[ D=1+80=81 \] \[ x_{1,2}=\frac{1\pm9}{2} \] \[ x_1=5,\qquad x_2=-4 \]

Случай 2: \[ x^2-x=-19 \] \[ x^2-x+19=0 \] Дискриминант: \[ D=1-76=-75<0 \] Действительных корней нет.

Ответ: \(x=-4;\ 5\).

---

5. Найдите координаты точек пересечения графиков

Даны функции: \[ y=\frac{x^3}{x-4} \] и \[ y=x^2+2x \]

Точки пересечения находятся из уравнения: \[ \frac{x^3}{x-4}=x^2+2x \] При этом \(x\ne4\), так как знаменатель не равен нулю.

Умножим обе части на \(x-4\): \[ x^3=(x^2+2x)(x-4) \] Раскроем скобки: \[ x^3=x^3-4x^2+2x^2-8x \] \[ x^3=x^3-2x^2-8x \] Убираем \(x^3\) с обеих сторон: \[ -2x^2-8x=0 \] \[ 2x^2+8x=0 \] \[ 2x(x+4)=0 \] Отсюда: \[ x=0,\qquad x=-4 \] Оба значения подходят, так как \(x\ne4\).

Найдём \(y\) по формуле \(y=x^2+2x\).

При \(x=0\): \[ y=0 \] Точка: \[ (0;0) \]

При \(x=-4\): \[ y=(-4)^2+2\cdot(-4)=16-8=8 \] Точка: \[ (-4;8) \]

Ответ: \((0;0)\) и \((-4;8)\).

---

Итоговые ответы

1. а) \(x=-6;\ 0;\ 6\);
   б) \(x=-\dfrac72;\ 5\).

2. \(x=\pm2;\ \pm5\).

3. \(a=\pm6\).

4. а) \(y=-\dfrac13;\ 3\);
   б) \(x=-4;\ 5\).

5. Точки пересечения: \((0;0)\) и \((-4;8)\).