В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, AC = BC = 14 см.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, AC = BC = 14 см. Две стороны квадрата CDEF лежат на катетах треугольника ABC, а вершина E принадлежит гипотенузе AB. Найдите периметр квадрата CDEF.
- Четырёхугольники ABCD, DEFM, MNKL, LPQS, SQTV — квадраты (рис. 53). Найдите сумму длин сторон квадратов, которые не лежат на прямой AV, если длина отрезка AV равна 16 см. [Рисунок 53: на прямой AV последовательно расположены квадраты ABCD, DEFM, MNKL, LPQS, SQTV, уменьшающиеся слева направо; обозначены их вершины.]
Краткий ответ: 174) \(28\) см. 177) \(32\) см.
174. Периметр квадрата \(CDEF\)
Пусть сторона квадрата равна \(x\) см. Тогда \(CD=CF=x\).
Треугольник \(ABC\) — прямоугольный и равнобедренный: \(AC=BC=14\), \(\angle C=90^\circ\). Квадрат вписан так, что \(D\in AC\), \(F\in BC\), а \(E\) лежит на гипотенузе \(AB\).
Введём координаты: \(C(0;0)\), \(A(14;0)\), \(B(0;14)\). Тогда \[ D(x;0),\quad F(0;x),\quad E(x;x). \] Гипотенуза \(AB\) задаётся уравнением \[ X+Y=14. \] Так как \(E(x;x)\) лежит на \(AB\), то \[ x+x=14 \quad\Rightarrow\quad 2x=14 \quad\Rightarrow\quad x=7. \] Периметр квадрата: \[ P=4x=4\cdot 7=28\text{ см}. \]
Ответ: \(28\) см.
177. Сумма сторон квадратов, не лежащих на прямой \(AV\)
На рисунке 53 квадраты \(ABCD\), \(DEFM\), \(MNKL\), \(LPQS\), \(SQTV\) расположены «лесенкой» вдоль прямой \(AV\). Их стороны, лежащие на прямой, в сумме покрывают отрезок \(AV\), поэтому сумма длин этих сторон равна \(16\) см.
Если сложить все стороны квадратов, не лежащие на прямой \(AV\), то:
- сумма вертикальных сторон (подъёмов и спусков «лесенки») даёт \(AV\);
- сумма горизонтальных верхних сторон также даёт \(AV\).
Иными словами, каждая такая сторона при проектировании на прямую \(AV\) даёт вклад, и в сумме эти вклады покрывают \(AV\) дважды. Поэтому искомая сумма равна \[ 2\cdot AV=2\cdot 16=32\text{ см}. \]
Ответ: \(32\) см.
Проверка 174: при \(x=7\) имеем \(AD=14-7=7\), \(BF=7\), то есть квадрат действительно касается гипотенузы в точке \(E(7;7)\), лежащей на прямой \(X+Y=14\). Всё сходится.
Обсуждение
5 сообщенийРеши 174,177
У первого какое то странное решение
Согласен, для 174-й задачи координатный метод — это «из пушки по воробьям». Давай решим её классическим геометрическим способом, через подобие треугольников.
А в 177-й я перепроверил решение и заметил ошибку в прошлом ответе (там было 32 см). Правильный ответ — 48 см. Сейчас объясню, почему.
174. Периметр квадрата \(CDEF\)
Краткий ответ: \(28\) см.
- Пусть сторона квадрата \(CDEF\) равна \(x\) см. Тогда \(CD = DE = EF = FC = x\).
- Треугольник \(ABC\) — прямоугольный и равнобедренный (\(AC = BC = 14\)). Квадрат вписан так, что его угол \(C\) совпадает с прямым углом треугольника, а вершина \(E\) лежит на гипотенузе \(AB\).
- Сторона \(DE\) квадрата параллельна катету \(BC\).
- Рассмотрим треугольник \(ADE\). У него угол \(A\) общий с треугольником \(ABC\), а угол \(ADE = 90^\circ\) (так как \(CDEF\) — квадрат). Значит, \(\triangle ADE\) подобен \(\triangle ABC\) по двум углам.
- Из подобия следует пропорция: \[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
- Так как \(AC = 14\), а квадрат отрезает от катета \(AC\) отрезок \(CD = x\), то \(AD = 14 - x\). Подставляем известные значения: \[ \frac{14 - x}{14} = \frac{x}{14} \] Умножаем обе части на 14: \[ 14 - x = x \] \[ 2x = 14 \quad\Rightarrow\quad x = 7 \]
- Периметр квадрата: \(P = 4x = 4 \cdot 7 = 28\) см.
Ответ: 28 см.
177. Сумма сторон квадратов вне прямой \(AV\)
Краткий ответ: \(48\) см.
- На рисунке 53 расположены 5 квадратов: \(ABCD\), \(DEFM\), \(MNKL\), \(LPQS\), \(SQTV\).
- У каждого квадрата одна сторона полностью лежит на прямой \(AV\) (это их общая нижняя граница). Пусть стороны этих квадратов равны \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\).
- По условию длина отрезка \(AV = 16\) см. Так как квадраты стоят вплотную друг к другу, сумма их нижних сторон в точности равна длине отрезка \(AV\): \[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 16 \text{ см}. \]
- В задаче нужно найти сумму длин сторон, которые не лежат на \(AV\). У каждого квадрата таких сторон по три (верхняя и две боковые).
- Значит, сумма всех не лежащих на прямой сторон — это сумма трёх сторон каждого из пяти квадратов: \[ 3a_1 + 3a_2 + 3a_3 + 3a_4 + 3a_5 = 3 \cdot (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) \]
- Подставляем известную сумму: \[ 3 \cdot 16 = 48 \text{ см}. \]
Ответ: 48 см.
(В прошлый раз я ошибочно сложил проекции вертикальных и горизонтальных сторон, но у этой «лесенки» вертикальные отрезки не дают в сумме 16 см. Поэтому верный способ — просто вычесть из общего периметра всех квадратов их нижние стороны. \(5 \cdot 4 \cdot 16 - 16 = 48\).)
Как объяснить что сд равно половине ас
Это не отдельное свойство квадрата, а следствие того, что треугольник \(ABC\) равнобедренный прямоугольный.
Объяснение по шагам:
В треугольнике \(ABC\): \[ \angle C=90^\circ,\qquad AC=BC. \] Значит, углы при основании равны: \[ \angle A=\angle B=45^\circ. \]
\(CDEF\) — квадрат, поэтому \[ DE\perp CD,\qquad DE=CD. \] Но \(CD\) лежит на катете \(AC\), значит, \[ DE\perp AC. \]
Рассмотрим треугольник \(ADE\):
- угол \(D\) прямой, так как \(DE\perp AC\);
- угол \(A\) равен \(45^\circ\), потому что \(AE\) лежит на \(AB\), а \(\angle CAB=45^\circ\).
Значит, в треугольнике \(ADE\) второй острый угол тоже \(45^\circ\), поэтому он равнобедренный: \[ AD=DE. \]
Но \(DE=CD\), так как это стороны квадрата. Следовательно, \[ AD=CD. \]
Точка \(D\) лежит на отрезке \(AC\), поэтому \[ AC=AD+DC=CD+CD=2CD. \] Отсюда \[ CD=\frac{AC}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см}. \]
Короткая запись в тетради: \[ \angle A=45^\circ,\quad DE\perp AC \] \[ \Rightarrow \triangle ADE \text{ — равнобедренный} \] \[ \Rightarrow AD=DE=CD \] \[ \Rightarrow AC=2CD \] \[ \Rightarrow CD=7\text{ см}. \]
Тогда периметр квадрата: \[ P=4\cdot 7=28\text{ см}. \]
Главная мысль: \(CD=\frac{AC}{2}\) получается из угла \(45^\circ\) и равенства \(DE=CD\) у квадрата.
