В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Отрезки KM и LN пересекаются в точке E.

Ответ: а) \(12\); б) \(CD=\dfrac52=2{,}5\).

Решение.

Обозначим площади треугольников: \[ x=[AKE],\quad y=[AEN],\quad z=[BEL],\quad w=[CEM]. \]

Так как \(K,L,M,N\) — середины сторон, то треугольники с равными основаниями и общей высотой имеют равные площади: \[ [BKE]=[AKE]=x,\quad [CEL]=[BEL]=z, \] \[ [DEM]=[CEM]=w,\quad [DEN]=[AEN]=y. \]

а) Площадь \(CMEL\)

По условию: \[ x+y=6,\qquad x+z=6,\qquad y+w=12. \] Из первых двух равенств \(y=z\). Тогда \[ S_{CMEL}=z+w=y+w=12. \]

б) Длина \(CD\)

Сначала заметим, что из \(S_{AKEN}=S_{BKEL}\) следует \(AB\parallel CD\). Действительно, \(y=z\), а \(E\) — середина \(LN\) как точка пересечения диагоналей параллелограмма Вариньона, поэтому \(EN=EL\). Треугольники \(AEN\) и \(BEL\) имеют равные площади и равные основания \(EN\) и \(EL\); значит, точки \(A\) и \(B\) находятся на одинаковом расстоянии от прямой \(LN\), то есть \(AB\parallel LN\). Но \[ 2\vec{NL}=\vec{AB}+\vec{DC}, \] поэтому \(CD\parallel AB\). Значит, \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(AB\) и \(CD\).

Пусть \[ AB=a,\qquad CD=b,\qquad h \] — высота трапеции. Тогда \(E\) находится на расстоянии \(h/2\) от каждого основания, а средняя линия \(LN\) равна \(\dfrac{a+b}{2}\), поэтому \[ EN=\frac{a+b}{4}. \]

Получаем: \[ S_{AKEN}= \frac12\cdot\frac a2\cdot\frac h2+ \frac12\cdot\frac{a+b}{4}\cdot\frac h2 =\frac{(3a+b)h}{16}. \]

Аналогично: \[ S_{DNEM}= \frac{bh}{8}+\frac{(a+b)h}{16} =\frac{(a+3b)h}{16}. \]

По условию: \[ \frac{(3a+b)h}{16}=6,\qquad \frac{(a+3b)h}{16}=12. \] Разделим второе равенство на первое: \[ \frac{a+3b}{3a+b}=2. \] Отсюда \[ a+3b=6a+2b \quad\Rightarrow\quad b=5a. \] Но \(a=AB=\dfrac12\), значит \[ CD=b=5\cdot\frac12=\frac52=2{,}5. \]

Проверка: при \(a=\dfrac12\), \(b=\dfrac52\) из первой площади получаем \(h=24\), и вторая площадь действительно равна \(12\).