170 Сколькими способами можно выбрать: а) 7 предметов из 9; б) 2 предмета из 6; в)* 4 предмета из 12; г)* 5 предметов из 13?

На фото видны номера 170–172; решаю все. Везде порядок выбора не важен, поэтому используем сочетания.

Краткий ответ

• 170. а) \(36\); б) \(15\); в) \(495\); г) \(1287\).
• 171. а) \(210\); б) \(3003\).
• 172. а) \(20\); б) \(35\); в) \(120\).

Почему это сочетания

Число способов выбрать \(k\) предметов из \(n\), если порядок не важен, равно

\[ C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

Если бы порядок был важен, способов было бы больше: те же выбранные предметы в другом порядке считались бы разными. Здесь же важен только сам набор.

Разбор

170.

а) \(C_9^7=C_9^2=\dfrac{9\cdot8}{2\cdot1}=36\).

б) \(C_6^2=\dfrac{6\cdot5}{2\cdot1}=15\).

в) \[ C_{12}^4=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495. \]

г) \[ C_{13}^5=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=1287. \]

171. Здесь выбираем стартовую шестёрку, но не расставляем игроков по позициям.

а) \[ C_{10}^6=C_{10}^4=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210. \]

б) \[ C_{14}^6=\frac{14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=3003. \]

172.

а) \(C_6^3=\dfrac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20\).

б) \(C_7^3=\dfrac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35\).

в) \(C_{10}^3=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120\).

Проверка по симметрии: \(C_9^7=C_9^2\), \(C_{10}^6=C_{10}^4\), поэтому результаты можно считать через меньшее число выбранных элементов.