Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_{1}=3\), \(x_{2}=2\) (корни можно записывать в любом порядке).

Ключевые шаги

Способ 1. Через дискриминант. Для уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\) сначала считаем дискриминант:

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два, и они находятся по формуле:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{5-1}{2}=2 \]

Способ 2. По теореме Виета. Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\):

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Подбор даёт ту же пару: \(2\) и \(3\) (в сумме \(5\), в произведении \(6\)).

Способ 3. Разложение на множители. Ищем два числа с суммой \(5\) и произведением \(6\) — это \(2\) и \(3\):

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) ✓. Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) ✓.

Принцип на будущее: если \(D>0\) — два корня, если \(D=0\) — один (кратный), если \(D<0\) — действительных корней нет. А через Виета удобно проверять себя, когда уравнение приведённое и корни целые.