540 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины M, F и N лежат соответственно на сторонах CD, CE и DE.
540.
Сверь числа и знаки с фото.
540 Периметр треугольника \(CDE\) равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб \(DMFN\) так, что вершины \(M\), \(F\) и \(N\) лежат соответственно на сторонах \(CD\), \(CE\) и \(DE\). Найдите стороны \(CD\) и \(DE\), если \(CF=8\) см, \(EF=12\) см.
Краткий ответ: \(CD=14\) см, \(DE=21\) см.
Как решать
Находим сторону \(CE\): \[ CE=CF+FE=8+12=20\text{ см}. \]
В ромбе \(DMFN\) противоположные стороны параллельны: \[ MF\parallel DN,\qquad FN\parallel DM. \] Но \(DN\) лежит на \(DE\), а \(DM\) — на \(CD\). Поэтому \[ MF\parallel DE,\qquad FN\parallel CD. \]
Из \(MF\parallel DE\) следует подобие треугольников: \[ \triangle CMF\sim\triangle CDE. \] Коэффициент подобия: \[ k_1=\frac{CF}{CE}=\frac{8}{20}=\frac25. \] Значит, \[ MF=\frac25 DE. \]
Из \(FN\parallel CD\) следует: \[ \triangle FNE\sim\triangle CDE, \] причём \[ k_2=\frac{FE}{CE}=\frac{12}{20}=\frac35. \] Значит, \[ FN=\frac35 CD. \]
В ромбе \(MF=FN=a\). Тогда \[ a=\frac25 DE \quad\Rightarrow\quad DE=\frac52 a, \] \[ a=\frac35 CD \quad\Rightarrow\quad CD=\frac53 a. \]
Используем периметр треугольника \(CDE\): \[ CD+DE+CE=55. \] Подставляем \(CE=20\): \[ \frac53 a+\frac52 a+20=55, \] \[ \frac{25}{6}a=35, \] \[ a=8{,}4\text{ см}. \] Отсюда \[ CD=\frac53\cdot 8{,}4=14\text{ см}, \] \[ DE=\frac52\cdot 8{,}4=21\text{ см}. \]
Проверка: \(14+21+20=55\) см — верно.
Принцип: параллельные стороны ромба отсекают от большого треугольника два подобных треугольника. Через коэффициенты подобия стороны ромба связываются со сторонами \(CD\) и \(DE\), а периметр даёт уравнение для стороны ромба.
Обсуждение
7 сообщений9 класс предмет геометрия
Чертёж сделай пожалуйста
Пожалуйста, вот схематичный чертёж к задаче 540 (не в масштабе):
C
/ \
/ \
M-----F CF = 8
/ \ / \
/ \ / \ FE = 12
D-----N-----E
8,4 12,6
На чертеже:
- \(F\) лежит на \(CE\), причём \(CF=8\) см, \(FE=12\) см, значит \(CE=20\) см;
- \(M\) лежит на \(CD\), \(N\) — на \(DE\);
- \(DMFN\) — ромб, поэтому \[ DM=MF=FN=ND=8{,}4\text{ см}. \]
Дополнительно: \[ CM=CD-DM=14-8{,}4=5{,}6\text{ см}, \] \[ NE=DE-DN=21-8{,}4=12{,}6\text{ см}. \]
Итог:
\[
\boxed{CD=14\text{ см},\quad DE=21\text{ см}}.
\]
Для построения в тетради: нарисуй треугольник \(CDE\) со сторонами \(CD=14\), \(DE=21\), \(CE=20\); отметь \(F\) на \(CE\) так, чтобы \(CF=8\); затем построй ромб \(DMFN\), где \(M\) лежит на \(CD\), а \(N\) — на \(DE\).
Почему дм равен 8,4
Коротко: \(DM=8{,}4\) — это не данное число, а найденное: \(DM\) — сторона ромба \(DMFN\).
Почему так
В ромбе все стороны равны, поэтому \[ DM=MF=FN=ND=a. \] То есть \(DM\) равно стороне ромба \(a\). Дальше я находил именно \(a\).
Из подобия \(\triangle CMF\sim\triangle CDE\) (так как \(MF\parallel DE\)): \[ \frac{MF}{DE}=\frac{CF}{CE}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{2}{5}DE. \]
Из подобия \(\triangle FNE\sim\triangle CDE\) (так как \(FN\parallel CD\)): \[ \frac{FN}{CD}=\frac{FE}{CE}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{5}CD. \]
Отсюда \[ DE=\frac{5}{2}a,\qquad CD=\frac{5}{3}a. \]
Периметр треугольника \(CDE\) равен \(55\), а \(CE=8+12=20\): \[ \frac{5}{3}a+\frac{5}{2}a+20=55, \] \[ \left(\frac{10}{6}+\frac{15}{6}\right)a=35, \] \[ \frac{25}{6}a=35, \] \[ a=\frac{35\cdot 6}{25}=\frac{210}{25}=8{,}4. \]
Значит, \[ DM=MF=FN=ND=8{,}4\text{ см}. \]
Проверка: \[ MF=\frac{2}{5}\cdot 21=8{,}4,\qquad FN=\frac{3}{5}\cdot 14=8{,}4. \] Обе «боковые» стороны ромба действительно равны \(8{,}4\), и \[ 14+21+20=55. \]
Так что \(DM=8{,}4\) получается из условия «ромб» плюс периметр \(55\), а не задано в условии напрямую.
Зачем мы соединяем точки М и Ф
Коротко: мы не проводим \(MF\) «от себя» — отрезок \(MF\) уже есть в условии, потому что \(DMFN\) — ромб, а \(MF\) является одной из его сторон.
Разберём по буквам
Запись «ромб \(DMFN\)» означает, что его вершины идут по порядку: \[ D \to M \to F \to N \to D. \] Значит, стороны ромба — это \[ DM,\quad MF,\quad FN,\quad ND. \] То есть \(M\) и \(F\) соединены не дополнительной линией, а стороной ромба.
Зачем нам эта сторона
В ромбе противоположные стороны параллельны: \[ MF \parallel DN. \] Но точки \(D\), \(N\), \(E\) лежат на одной прямой — стороне \(DE\). Поэтому \[ MF \parallel DE. \]
Именно это и нужно: из параллельности получаем подобие треугольников \[ \triangle CMF \sim \triangle CDE. \] Отсюда \[ \frac{MF}{DE}=\frac{CF}{CE}. \]
Аналогично \(FN\) — тоже сторона ромба, причём \[ FN \parallel DM \parallel CD, \] поэтому \[ \triangle FNE \sim \triangle CDE, \qquad \frac{FN}{CD}=\frac{FE}{CE}. \]
Итог: отрезок \(MF\) нужен не как вспомогательная линия, а как сторона вписанного ромба. Через его параллельность стороне \(DE\) мы и находим стороны треугольника.
