128. На рисунке 120 отрезок MK — средняя линия трапеции ABCD. Найдите: а) основание AD, если BC = 24 см, MK = 30 см

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
128. На рисунке 120 отрезок $MK$ — средняя линия трапеции $ABCD$. Найдите:
а) основание $AD$, если $BC = 24$ см, $MK = 30$ см;
б) сумму периметров четырёхугольников $MBCK$ и $AMKD$, если $AD = 20$ см, $AB = 16$ см, $BC = 14$ см, $CD = 18$ см.

[Рисунок 120: трапеция $ABCD$ с верхним основанием $BC$ и нижним основанием $AD$; на боковой стороне $AB$ отмечена точка $M$, на боковой стороне $CD$ — точка $K$; проведён отрезок $MK$; штрихами отмечено равенство $AM = MB$ и $CK = KD$]

Answer

Краткий ответ

а) $AD = 36$ см.
б) Сумма периметров $MBCK$ и $AMKD$ равна $102$ см.

Ключевая идея

Отрезок $MK$ — средняя линия трапеции, значит, он параллелен основаниям и равен их полусумме:

$$
MK=\frac{AD+BC}{2}
$$

Кроме того, средняя линия соединяет середины боковых сторон, поэтому
$$
AM=MB=\frac{AB}{2},\qquad CK=KD=\frac{CD}{2}.
$$

Пункт а)

$$
30=\frac{AD+24}{2}\ \Rightarrow\ AD+24=60\ \Rightarrow\ AD=36\ \text{см}.
$$

Проверка: $(36+24):2=30$ — сходится.

Пункт б)

Сначала найдём среднюю линию:
$$
MK=\frac{20+14}{2}=17\ \text{см}.
$$
Половины боковых сторон:
$$
MB=AM=\frac{16}{2}=8\ \text{см},\qquad CK=KD=\frac{18}{2}=9\ \text{см}.
$$

Периметр $MBCK$ (обход $M\to B\to C\to K\to M$):
$$
P_1=8+14+9+17=48\ \text{см}.
$$

Периметр $AMKD$ (обход $A\to M\to K\to D\to A$):
$$
P_2=8+17+9+20=54\ \text{см}.
$$

Сумма:
$$
P_1+P_2=48+54=102\ \text{см}.
$$

Быстрый способ проверки. При сложении периметров каждая боковая сторона входит целиком, а $MK$ — дважды:
$$
P_1+P_2=AB+BC+CD+AD+2MK=16+14+18+20+34=102.
$$

Ответ: а) $36$ см; б) $102$ см.