Объясни,вообще геометрию не понимаю 😩
Сверь числа и знаки с фото.
1033 Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) A (0; 1), B (1; –4), C (5; 2); б) A (–4; 1), B (–2; 4), C (0; 1).
Понимаю: координатная геометрия поначалу кажется запутанной, но здесь всё держится на одной формуле.
Краткий ответ
а) \(AB=AC\), треугольник равнобедренный; площадь \(S=13\).
б) \(AB=BC\), треугольник равнобедренный; площадь \(S=6\).
Главная формула
Для точек \(P(x_1;y_1)\) и \(Q(x_2;y_2)\):
\[ PQ^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2. \]
Разности координат — это катеты прямоугольного треугольника, а расстояние — его гипотенуза. Удобно сравнивать именно квадраты длин: если \(AB^2=AC^2\), то и \(AB=AC\).
а) \(A(0;1)\), \(B(1;-4)\), \(C(5;2)\)
\[ AB^2=(1-0)^2+(-4-1)^2=1+25=26, \]
\[ AC^2=(5-0)^2+(2-1)^2=25+1=26, \]
\[ BC^2=(5-1)^2+(2-(-4))^2=16+36=52. \]
Значит, \(AB=AC\), поэтому треугольник равнобедренный с основанием \(BC\).
Кроме того,
\[ AB^2+AC^2=26+26=52=BC^2, \]
поэтому угол \(A\) прямой. Тогда \(AB\) и \(AC\) — катеты:
\[ S=\frac12\cdot AB\cdot AC =\frac12\cdot\sqrt{26}\cdot\sqrt{26}=13. \]
б) \(A(-4;1)\), \(B(-2;4)\), \(C(0;1)\)
\[ AB^2=(-2+4)^2+(4-1)^2=2^2+3^2=13, \]
\[ BC^2=(0+2)^2+(1-4)^2=2^2+(-3)^2=13, \]
\[ AC^2=(0+4)^2+(1-1)^2=16. \]
Значит, \(AB=BC=\sqrt{13}\), треугольник равнобедренный с основанием \(AC\).
При этом \(AC\) лежит на горизонтальной прямой \(y=1\), а \(B\) имеет координату \(y=4\). Поэтому высота к основанию \(AC\) равна
\[ h=4-1=3. \]
Длина основания:
\[ AC=4. \]
Площадь:
\[ S=\frac12\cdot AC\cdot h =\frac12\cdot4\cdot3=6. \]
Что запомнить: в подобной задаче сначала считают квадраты всех трёх сторон и находят две равные. Для площади выбирают удобное основание и высоту; если есть прямой угол, площадь равна половине произведения катетов.
Обсуждение
2 сообщенияНе понимаю как формулу применять
Формула — это просто «Пифагор по координатам». Смотри на две точки:
\[ AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2. \]
То есть:
- из \(x\)-координаты второй точки вычитаем \(x\)-координату первой;
- так же поступаем с \(y\);
- каждую разность возводим в квадрат и складываем.
Минус внутри скобок не страшен: после возведения в квадрат он исчезает.
Пункт а) \(A(0;1)\), \(B(1;-4)\), \(C(5;2)\)
Подставляем в формулу:
\[ AB^2=(1-0)^2+(-4-1)^2. \]
Считаем по частям:
\[ 1-0=1,\qquad -4-1=-5. \]
Тогда
\[ AB^2=1^2+(-5)^2=1+25=26. \]
Теперь \(AC\):
\[ AC^2=(5-0)^2+(2-1)^2=5^2+1^2=25+1=26. \]
Получили
\[ AB^2=AC^2=26, \]
значит,
\[ AB=AC=\sqrt{26}. \]
Две стороны равны — треугольник равнобедренный.
Площадь
Найдём ещё \(BC\):
\[ BC^2=(5-1)^2+(2-(-4))^2=4^2+6^2=16+36=52. \]
Замечаем:
\[ AB^2+AC^2=26+26=52=BC^2. \]
По теореме, обратной теореме Пифагора, угол \(A\) прямой. Значит, \(AB\) и \(AC\) — катеты:
\[ S=\frac12\cdot AB\cdot AC =\frac12\cdot\sqrt{26}\cdot\sqrt{26} =\frac12\cdot26=13. \]
Пункт б) \(A(-4;1)\), \(B(-2;4)\), \(C(0;1)\)
Считаем квадраты сторон тем же способом:
\[ AB^2=(-2-(-4))^2+(4-1)^2 =2^2+3^2=4+9=13. \]
\[ BC^2=(0-(-2))^2+(1-4)^2 =2^2+(-3)^2=4+9=13. \]
Значит, \(AB=BC\), треугольник равнобедренный.
Теперь площадь. Сторона \(AC\) лежит на горизонтальной прямой \(y=1\), поэтому:
\[ AC=0-(-4)=4. \]
Высота от \(B(-2;4)\) до этой прямой:
\[ h=4-1=3. \]
Тогда
\[ S=\frac12\cdot AC\cdot h=\frac12\cdot4\cdot3=6. \]
Главное: сначала считай не сами длины, а их квадраты. Если два квадрата совпали — две стороны равны, треугольник равнобедренный.
