Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]
Уравнение имеет два корня: 2 и 3.
Как это получить
Шаг 1. Замечаем закономерность. Перед нами уравнение вида \(x^2+px+q=0\), где \(p=-5\), \(q=6\). Его удобно решать разложением на множители.
Шаг 2. Ищем два числа. Нужны два числа, которые:
- при умножении дают \(6\) (свободный член);
- при сложении дают \(5\) (число, противоположное коэффициенту при \(x\)).
Подходят \(2\) и \(3\): \(2\cdot 3=6\), \(2+3=5\).
Шаг 3. Записываем произведение.
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Шаг 4. Используем правило нуля. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Отсюда \(x=2\) или \(x=3\).
Проверка
Подставим \(x=2\):
\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]
Подставим \(x=3\):
\[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
Оба раза получается \(0\) — корни найдены верно. Я проверил.
Если числа подобрать трудно
Есть универсальный способ — через дискриминант:
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]
То есть \(x_1=\frac{6}{2}=3\), \(x_2=\frac{4}{2}=2\). Ответ тот же.
Главная идея: квадратное уравнение сводится к произведению двух скобок, а дальше работает простое правило — произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю.
