Ответьте на вопросы, выбрав правильный вариант ответа 1. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%.

Краткие ответы:

5. В — на три (но в условии есть неоднозначность, см. пояснение)
6. Г — Демьянов на 10 лет
7. Б — 360
8. А — 20 кг
9. Нельзя
10. Первый участок — \(4\times 9\) м; второй — \(6\times 12\) м или \(8\times 8\) м

5. Шарики

Пусть всего \(N\) шариков. Белые составляют \(48\%=\frac{12}{25}\), поэтому \(N\) кратно \(25\). Так как \(N\le 80\), то \[ N\in\{25,50,75\}. \] После удаления 5 шариков осталось \(N-5\) шариков, поровну белых и чёрных, значит \(N-5\) чётно. Поэтому \(N\) нечётно, то есть \(N=25\) или \(N=75\).

• Если \(N=25\): белых \(12\), чёрных \(13\). Убираем 2 белых и 3 чёрных — остаётся \(10\) и \(10\). Разница \(1\).
• Если \(N=75\): белых \(36\), чёрных \(39\). Убираем 1 белый и 4 чёрных — остаётся \(35\) и \(35\). Разница \(3\).

Оба варианта подходят. Если тест рассчитан на единственный ответ, то, судя по границе «не более 80», задуман вариант с \(75\) шариками, поэтому выбираем на три (В). Строго говоря, условию удовлетворяют и 1, и 3.

6. Фамилии

Условия дают цепочку: каждый из Антона, Бориса, Владимира и Георгия младше человека с соответствующей фамилией на \(1,2,3,4\) года.

Так как все разности положительны, цепочка не может замкнуться только на этих четырёх людях — она должна проходить через Демьяна. Обходя цепочку от Демьяна до Демьянова и возвращаясь обратно, суммарное изменение возраста равно нулю. Четыре известных шага дают в сумме \[ 1+2+3+4=10 \text{ лет}. \] Значит, недостающий шаг от Демьяна к Демьянову равен \(-10\): Демьянов на 10 лет младше Демьяна.

Ответ: Г.

7. Шары в ряд

5 белых шаров одинаковы, поэтому их можно просто поставить в ряд — это один способ. Между ними и по краям образуется \(6\) промежутков.

Чтобы чёрные шары не стояли рядом, нужно выбрать \(4\) промежутка из \(6\): \[ \binom{6}{4}=15. \] Чёрные шары пронумерованы, значит, их можно расставить в выбранных промежутках \(4!\) способами: \[ 15\cdot 4!=15\cdot 24=360. \]

Ответ: Б.

8. Посылки

Сумма всех масс: \[ 9+10+12+13+20+22=86 \text{ кг}. \] Пусть масса посылок второго клиента \(S\), первого — \(2S\), третьего — \(L\). Тогда \[ 3S+L=86. \] Отсюда \(L\equiv 86\pmod 3\), то есть \(L\equiv 2\pmod 3\). Из вариантов подходит только \(20\) кг. Проверка: \[ S=\frac{86-20}{3}=22. \] Действительно, \(22\) кг можно набрать, например, одной посылкой \(22\) кг, а первый клиент получит остальные \(9+10+12+13=44=2\cdot 22\) кг.

Ответ: А — 20 кг.

9. Банкноты

Пусть \(x,y,z\) — количество банкнот по \(1\), \(10\) и \(100\) зедов. Тогда \[ x+y+z=40, \] \[ x+10y+100z=1000. \] Вычтем первое уравнение из второго: \[ 9y+99z=960. \] Разделим на \(3\): \[ 3y+33z=320. \] Слева стоит число, кратное \(3\), а справа \(320\) на \(3\) не делится (\(320=3\cdot106+2\)). Противоречие.

Ответ: нельзя.

10. Участки

Пусть стороны первого участка \(a\) и \(b\) (целые, не больше \(15\)). Его площадь \(ab\), периметр \(2(a+b)\). По условию \[ ab=2(a+b)+10. \] Прибавим \(4\) к обеим частям: \[ ab-2a-2b+4=14, \] \[ (a-2)(b-2)=14. \] Подходят множители \(2\) и \(7\): \[ a-2=2,\quad b-2=7 \quad\Rightarrow\quad a=4,\ b=9. \] (Вариант \(1\) и \(14\) даёт сторону \(16>15\).)

Значит, первый участок — \(4\times 9\) м.

Для второго участка площадь в 2 раза больше периметра: \[ ab=2\cdot 2(a+b)=4(a+b). \] Тогда \[ ab-4a-4b=0, \] \[ (a-4)(b-4)=16. \] Возможные пары множителей: \[ (2,8)\Rightarrow (6,12),\qquad (4,4)\Rightarrow (8,8). \] Обе пары дают стороны не больше \(15\).

Ответ: первый — \(4\times 9\) м; второй — \(6\times 12\) м или \(8\times 8\) м. Если квадрат не считать прямоугольным участком, остаётся только \(6\times 12\) м.

Это продолжение того же теста: на изображении задачи 5–10. Решаю их.

5. Шарики

Пусть всего \(n\) шариков. Белых \(48\%\), то есть \[ 0{,}48n=\frac{12n}{25}, \] значит, \(n\) кратно 25. Так как \(n\le 80\), возможны \(n=25,50,75\).

После удаления 5 шариков осталось \(n-5\) шариков, и белых с чёрными стало поровну, поэтому \(n-5\) чётно, то есть \(n\) нечётно. Значит, \(n=25\) или \(n=75\).

Разница «чёрные минус белые» равна \[ \frac{13n}{25}-\frac{12n}{25}=\frac{n}{25}. \]

• При \(n=25\): белых 12, чёрных 13, разница 1. Чтобы осталось поровну, убираем 2 белых и 3 чёрных — возможно.
• При \(n=75\): белых 36, чёрных 39, разница 3. Убираем 1 белый и 4 чёрных — тоже возможно.

Вывод: условие допускает два ответа — на один или на три. В тестовом формате чаще подразумевают ответ А (на один), но вариант В (на три) также не противоречит условию.

6. Фамилии

Ответ: Г. Демьянов на 10 лет.

Кратко: обозначим через \(k_X\) разницу «возраст человека с фамилией \(X\) минус возраст человека с именем \(X\)». По условию \[ k_A=1,\quad k_B=2,\quad k_V=3,\quad k_G=4. \] Если рассмотреть цепочку «имя → человек с такой фамилией», то она должна замкнуться в цикл. Сумма разниц по циклу равна нулю, поэтому \[ 1+2+3+4+k_D=0, \] откуда \(k_D=-10\). Это значит, что человек с фамилией Демьянов на 10 лет младше Демьяна.

7. Шары в ряд

5 белых шаров создают 6 промежутков (включая края). Чтобы чёрные не стояли рядом, в каждый выбранный промежуток можно поставить не более одного чёрного шара.

Выбираем 4 промежутка из 6 и расставляем в них 4 пронумерованных чёрных шара: \[ C_6^4\cdot 4! = 15\cdot 24=360. \]

Ответ: Б. 360.

8. Посылки

Общая масса всех посылок: \[ 9+10+12+13+20+22=86\text{ кг}. \] Пусть масса посылки третьего клиента \(m\). Тогда масса пяти посылок для первых двух клиентов равна \(86-m\). По условию масса первого вдвое больше массы второго, значит, \(86-m\) делится на 3: \[ 86-m\equiv 0\pmod 3. \] Так как \(86\equiv 2\pmod 3\), то \(m\equiv 2\pmod 3\). Из вариантов только 20 даёт остаток 2.

Проверка: если третьему клиенту идёт 20 кг, то остаётся 66 кг. Второму — 22 кг (9 + 13), первому — 44 кг (10 + 12 + 22). Всё сходится.

Ответ: А. 20 кг.

9. Банкноты

Пусть \(x\), \(y\), \(z\) — количество банкнот по 1, 10 и 100 зедов. Тогда \[ x+y+z=40, \] \[ x+10y+100z=1000. \] Вычтем первое уравнение из второго: \[ 9y+99z=960. \] Разделим на 3: \[ 3(y+11z)=320. \] Слева число делится на 3, а \(320\) на 3 не делится. Противоречие.

Ответ: нельзя.

10. Участки

Пусть стороны первого участка \(a\) и \(b\) метров. Тогда \[ ab=2(a+b)+10. \] Перепишем: \[ ab-2a-2b=10, \] \[ (a-2)(b-2)=14. \] Целые положительные делители 14: \(1\cdot14\), \(2\cdot7\), \(7\cdot2\), \(14\cdot1\). С учётом \(a,b\le15\) подходит только \[ a-2=2,\quad b-2=7, \] то есть \[ a=4,\quad b=9. \] Размеры первого участка: 4 м × 9 м.

Для второго участка: \[ ab=2\cdot 2(a+b)=4(a+b), \] \[ ab-4a-4b=0, \] \[ (a-4)(b-4)=16. \] Делители 16 дают варианты: \[ (a-4,b-4)=(2,8)\quad \text{или}\quad (4,4), \] то есть \[ (a,b)=(6,12)\quad \text{или}\quad (8,8). \] Оба варианта удовлетворяют условию \(a,b\le15\).

Ответ: первый участок — \(4\times9\) м; второй — \(6\times12\) м или \(8\times8\) м (если квадрат не исключается условием).

Это продолжение того же теста — задачи 11 и 12.

11. Ванна

Горячий кран даёт \[ \frac{168}{21}=8\text{ л/мин}. \]

1) Вместе краны дают \(12+8=20\) л/мин: \[ t=\frac{168}{20}=8{,}4\text{ мин}=8\text{ мин }24\text{ с}. \]

2) Три четверти ванны — это \[ \frac34\cdot168=126\text{ л}. \] Холодной воды должно быть треть: \[ \frac{126}{3}=42\text{ л},\qquad \text{горячей }126-42=84\text{ л}. \] Холодная набирается за \[ \frac{42}{12}=3{,}5\text{ мин}, \] горячая — за \[ \frac{84}{8}=10{,}5\text{ мин}. \] Краны можно открыть одновременно, поэтому всё определяется горячим краном: \[ t=10{,}5\text{ мин}=10\text{ мин }30\text{ с}. \]

3) До половины ванны — \(84\) л — оба крана набирают за \[ \frac{84}{20}=4{,}2\text{ мин}=4\text{ мин }12\text{ с}. \] Вылили половину за \(3\) мин. Затем нужно добрать \(42\) л горячей водой: \[ \frac{42}{8}=5{,}25\text{ мин}=5\text{ мин }15\text{ с}. \] Итого: \[ 4\text{ мин }12\text{ с}+3\text{ мин}+5\text{ мин }15\text{ с} =12\text{ мин }27\text{ с}. \]

Ответы: 1) \(8\) мин \(24\) с; 2) \(10\) мин \(30\) с; 3) \(12\) мин \(27\) с.

12. Ипотека

Срок — \(120\) месяцев. Основной долг уменьшается равномерно: \[ \frac{1\,200\,000}{120}=10\,000\text{ руб. в месяц}. \] Проценты за месяц равны \(1\%\) от остатка долга.

1. Первый и последний платежи

Первый платёж: \[ 10\,000+0{,}01\cdot1\,200\,000=10\,000+12\,000=22\,000\text{ руб.} \]

Перед последним платежом остаток основного долга равен \(10\,000\) руб.: \[ 10\,000+0{,}01\cdot10\,000=10\,100\text{ руб.} \]

Ответ: первый платёж — 22 000 руб., последний — 10 100 руб.

2. Общая сумма процентов

Остатки долга перед платежами образуют последовательность \[ 1\,200\,000,\ 1\,190\,000,\ \ldots,\ 10\,000. \] Сумма остатков: \[ \frac{1\,200\,000+10\,000}{2}\cdot120=605\,000\cdot120=72\,600\,000. \] Проценты: \[ 0{,}01\cdot72\,600\,000=726\,000\text{ руб.} \]

Ответ: 726 000 руб.

3. Досрочный платёж через 5 лет

За 60 месяцев семья выплатила основной долг: \[ 60\cdot10\,000=600\,000\text{ руб.} \] Остаток: \[ 600\,000-150\,000=450\,000\text{ руб.} \] Срок остаётся 60 месяцев, значит, ежемесячная выплата основного долга теперь \[ \frac{450\,000}{60}=7\,500\text{ руб.} \]

Без досрочного платежа остатки долга за последние 60 месяцев: \(600\,000, 590\,000,\ldots,10\,000\). Проценты: \[ 0{,}01\cdot\frac{600\,000+10\,000}{2}\cdot60 =0{,}01\cdot305\,000\cdot60=183\,000\text{ руб.} \]

С досрочным платежом остатки: \(450\,000, 442\,500,\ldots,7\,500\). Проценты: \[ 0{,}01\cdot\frac{450\,000+7\,500}{2}\cdot60 =0{,}01\cdot228\,750\cdot60=137\,250\text{ руб.} \]

Уменьшение переплаты: \[ 183\,000-137\,250=45\,750\text{ руб.} \]

Ответ: 45 750 руб.

Итог: 11) \(8\) мин \(24\) с; \(10\) мин \(30\) с; \(12\) мин \(27\) с. 12) \(22\,000\) и \(10\,100\) руб.; \(726\,000\) руб.; \(45\,750\) руб.