Задача 223 а, б, в, г, д и е

Да, эти ответы верны. В прошлом сообщении был перепутан порядок пунктов. По фото:

а) \(\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac35\right)\right)=-\frac35\);

б) \(\operatorname{ctg}\left(\operatorname{arctg}\frac56\right)=\frac{1}{5/6}=\frac65=1{,}2\);

в) \(\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{arcctg}0=\frac{\pi}{2}\);

г) \(\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\sqrt3\right)=\sqrt3\);

д) \(\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{arcctg}1=\frac{\pi}{4}\);

е) \(\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\frac12+\operatorname{arctg}\frac14\right)=\frac{\frac12+\frac14}{1-\frac12\cdot\frac14}=\frac{6}{7}\).

По фото в № 223 пункты идут так:

\[ \begin{aligned} &\text{а) }\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac35\right)\right);\quad \text{б) }\operatorname{ctg}\left(\operatorname{arctg}\frac56\right);\\ &\text{в) }\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\frac12+\operatorname{arctg}\frac14\right);\\ &\text{г) }\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}\right);\quad \text{д) }\operatorname{ctg}\left(\operatorname{arctg}\sqrt3\right);\quad \text{е) }\operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}\right). \end{aligned} \]

Что нужно помнить.

• \(\operatorname{arctg}x\) — это угол \(\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\), у которого \(\operatorname{tg}\alpha=x\). Поэтому
  \[ \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}x)=x. \]
• \(\operatorname{arcctg}x\) — это угол \(\alpha\in(0;\pi)\), у которого \(\operatorname{ctg}\alpha=x\). Поэтому
  \[ \operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\alpha)=\alpha, \] если \(0<\alpha<\pi\).

Решение по пунктам.

а) Подставляем сразу: \[ \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac35\right)\right)=-\frac35. \]

б) Пусть \(\alpha=\operatorname{arctg}\frac56\). Тогда \(\operatorname{tg}\alpha=\frac56\), а \[ \operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{1}{5/6}=\frac65=1{,}2. \]

в) Пусть \(\alpha=\operatorname{arctg}\frac12\), \(\beta=\operatorname{arctg}\frac14\). Тогда \(\operatorname{tg}\alpha=\frac12\), \(\operatorname{tg}\beta=\frac14\). По формуле тангенса суммы: \[ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) =\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta} =\frac{\frac12+\frac14}{1-\frac12\cdot\frac14} =\frac{\frac34}{\frac78} =\frac67. \]

г) \(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=0\). Значит, \[ \operatorname{arcctg}0=\frac{\pi}{2}, \] так как \(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=0\) и \(\frac{\pi}{2}\in(0;\pi)\).

д) \(\operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}\), поэтому \[ \operatorname{ctg}\left(\operatorname{arctg}\sqrt3\right) =\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3} =\frac{1}{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}. \] Если бы в задании стоял \(\operatorname{tg}\), ответ был бы \(\sqrt3\). Но здесь \(\operatorname{ctg}\), поэтому \(\frac{\sqrt3}{3}\).

е) \(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}=1\), следовательно, \[ \operatorname{arcctg}1=\frac{\pi}{4}, \] так как \(\frac{\pi}{4}\in(0;\pi)\).

Итог по порядку фото: \[ \text{а) }-\frac35;\quad \text{б) }1{,}2;\quad \text{в) }\frac67;\quad \text{г) }\frac{\pi}{2};\quad \text{д) }\frac{\sqrt3}{3};\quad \text{е) }\frac{\pi}{4}. \]

В присланном списке значений порядок другой: \(\frac{\pi}{2}\) относится к пункту г), а \(\frac67\) — к пункту в). Значение \(\sqrt3\) получается только для \(\operatorname{tg}(\operatorname{arctg}\sqrt3)\); в данном же задании стоит \(\operatorname{ctg}\), поэтому правильный ответ — \(\frac{\sqrt3}{3}\).