правильно?

Да, правильно: I have got a cat and a dog. The dog never bites the cat.

Почему так:

1. a cat, a dog — оба предмета называются впервые, поэтому неопределённый артикль a (перед словом на согласный звук).
2. The dog — тот самый пёс, о котором только что сказали. Предмет уже известен собеседнику, значит нужен определённый артикль. Слово стоит в начале предложения, поэтому The с заглавной буквы.
3. the cat — тоже уже упомянутая кошка, «та самая». Если бы речь шла о какой-то другой кошке, было бы a cat, но здесь имеется в виду именно твоя кошка из первого предложения.

Дополнительно: bites — верная форма, потому что the dog = he/she/it, а в Present Simple к глаголу добавляется -s.

Проверка по смыслу: «Собака никогда не кусает (эту) кошку» — артикли показывают, что речь о конкретных животных, а не о собаках и кошках вообще.

Да, всё правильно: I have got a cat and a dog. The dog never bites the cat.

Разбор по артиклям:

• a cat и a dog — оба предмета называются впервые, поэтому неопределённый артикль a.
• The dog — собака уже упомянута, значит, речь о той самой собаке; The с большой буквы, потому что это начало предложения.
• the cat — кошка тоже уже известна из первой части, поэтому определённый артикль the.

Грамматика тоже в порядке: the dog never bites — в Present Simple к глаголу добавляется -s для 3-го лица единственного числа (it bites).

Да, правильно: Give me an orange, please.

Почему an, а не a:

• выбор между a и an зависит от первого звука следующего слова;
• orange начинается с гласного звука — поэтому an orange;
• a orange было бы ошибкой.

Почему не the:

• the нужен, если речь о конкретном, уже известном апельсине;
• здесь просьба «дай мне (один) апельсин» — предмет называется впервые, значит неопределённый артикль.

И ещё: вариант An с заглавной буквы здесь не подходит, потому что артикль стоит в середине предложения, после Give me. Ты выбрал строчное an — верно.

Да, правильно: There is a pen. The pen is red.

Разбор:

1. a pen — ручка упоминается впервые, она исчисляемая и в единственном числе, поэтому неопределённый артикль a. Слово pen начинается с согласного звука, значит именно a, а не an.
2. The pen — речь о той же самой ручке, она уже известна из первого предложения, поэтому определённый артикль the.
3. The с заглавной буквы — артикль стоит в начале предложения, это верно.

Небольшое пояснение по интерфейсу: крестик × рядом с ответом — это кнопка очистки выбранного варианта, а не часть предложения. Сами выбранные ответы a и The стоят верно.