Д.З. на 11.11 (алг.) Решить уравнения.

Краткие ответы:

1. \(x=-9\);
2. \(x=\frac{27}{5}=5{,}4\);
3. \(x=0\) или \(x=10\);
4. \(x=-2,\ 2,\ 3\);
5. \(x=\pm2\);
6. \(x=\pm2\) или \(x=\pm\frac{1}{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3}\).

1) \(2-3(x+2)=5-2x\)

Раскрываем скобки: \[ 2-3x-6=5-2x \] \[ -3x-4=5-2x \]

Переносим \(x\) влево, числа вправо: \[ -3x+2x=5+4 \] \[ -x=9 \] \[ x=-9 \]

Проверка: \(2-3(-9+2)=2+21=23\), справа \(5-2(-9)=23\).

2) \(\frac{x}{3}+\frac{x-1}{2}=4\)

Умножаем обе части на общий знаменатель \(6\): \[ 2x+3(x-1)=24 \] \[ 2x+3x-3=24 \] \[ 5x=27 \] \[ x=\frac{27}{5}=5{,}4 \]

3) \(x^2-10x=0\)

Выносим \(x\) за скобки: \[ x(x-10)=0 \]

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: \[ x=0 \quad \text{или} \quad x-10=0 \] \[ x=0,\quad x=10 \]

Важно: здесь нельзя делить уравнение на \(x\), иначе потеряется корень \(x=0\).

4) \(x^3-3x^2-4x+12=0\)

Группируем слагаемые: \[ (x^3-3x^2)-(4x-12)=0 \] \[ x^2(x-3)-4(x-3)=0 \] \[ (x-3)(x^2-4)=0 \]

Разность квадратов раскладываем: \[ (x-3)(x-2)(x+2)=0 \]

Отсюда: \[ x=3,\quad x=2,\quad x=-2 \]

5) \(x^4-2x^2-8=0\)

Это биквадратное уравнение. Вводим замену: \[ t=x^2,\quad t\ge0 \]

Получаем: \[ t^2-2t-8=0 \] \[ (t-4)(t+2)=0 \] \[ t=4 \quad \text{или} \quad t=-2 \]

Но \(t=x^2\ge0\), поэтому \(t=-2\) не подходит.

Остаётся: \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \]

6) \(3x^4-13x^2+4=0\)

Снова замена: \[ t=x^2,\quad t\ge0 \]

Уравнение: \[ 3t^2-13t+4=0 \]

Находим дискриминант: \[ D=(-13)^2-4\cdot3\cdot4=169-48=121=11^2 \]

Тогда: \[ t=\frac{13\pm11}{6} \] \[ t=4 \quad \text{или} \quad t=\frac{2}{6}=\frac13 \]

Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \] \[ x^2=\frac13 \Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3} \]

Главная идея: в биквадратных уравнениях замена \(t=x^2\) сводит всё к обычному квадратному уравнению, но потом обязательно нужно вернуться к \(x\) и учитывать, что \(t\ge0\).