Решите уравнения. 1) x − 3(x+2) = 5 − 2x; 2) x/3 + (x−1)/2 = 4; 3) x² − 10x = 0; 4) x³ − 3x² − 4x + 12 = 0
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
ДЗ. на 11.11 (алг.) Решите уравнения.
- \(x - 3(x+2) = 5 - 2x\)
- \(\frac{x}{3} + \frac{x-1}{2} = 4\)
- \(x^{2} - 10x = 0\)
- \(x^{3} - 3x^{2} - 4x + 12 = 0\)
- \(x^{4} - 2x^{2} - 8 = 0\)
- \(3x^{4} - 13x^{2} + 4 = 0\)
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | Корней нет |
| 2 | \(x=\dfrac{27}{5}=5{,}4\) |
| 3 | \(x_1=0,\ x_2=10\) |
| 4 | \(x_1=-2,\ x_2=2,\ x_3=3\) |
| 5 | \(x_{1,2}=\pm2\) |
| 6 | \(x=\pm2,\ x=\pm\dfrac{\sqrt3}{3}\) |
Ключевые шаги
Раскрываем скобки: \[ x-3x-6=5-2x \] \[ -2x-6=5-2x \] Слагаемые \(-2x\) взаимно уничтожаются: \[ -6=5 \] Это неверное числовое равенство, поэтому решений нет.
Умножаем обе части на общий знаменатель \(6\): \[ 2x+3(x-1)=24 \] \[ 2x+3x-3=24 \] \[ 5x=27 \] \[ x=\frac{27}{5} \] Проверка: \(\frac{27/5}{3}+\frac{27/5-1}{2}=\frac95+\frac{11}{5}=4\). Всё верно.
Здесь нельзя сокращать на \(x\), иначе потеряем корень \(0\). Выносим \(x\): \[ x(x-10)=0 \] Отсюда: \[ x=0 \quad\text{или}\quad x=10 \]
Многочлен можно разложить группировкой: \[ x^2(x-3)-4(x-3)=0 \] \[ (x-3)(x^2-4)=0 \] \[ (x-3)(x-2)(x+2)=0 \] Значит, \(x=3,\ x=2,\ x=-2\).
Это биквадратное уравнение. Обозначаем \(t=x^2\), причём \(t\ge0\): \[ t^2-2t-8=0 \] \[ (t-4)(t+2)=0 \] Получаем \(t=4\) или \(t=-2\). Но \(t=x^2\) не может быть отрицательным, поэтому остаётся только: \[ x^2=4 \] \[ x=\pm2 \]
Снова заменяем \(t=x^2\ge0\): \[ 3t^2-13t+4=0 \] Дискриминант: \[ D=(-13)^2-4\cdot3\cdot4=169-48=121 \] \[ t=\frac{13\pm11}{6} \] Отсюда: \[ t=4 \quad\text{или}\quad t=\frac13 \] Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \] \[ x^2=\frac13 \Rightarrow x=\pm\frac1{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3} \]
Главный принцип для похожих заданий: в биквадратном уравнении после замены \(x^2=t\) сначала решаем уравнение относительно \(t\), отбрасываем отрицательные \(t\), а затем из каждого подходящего \(t\) получаем два значения \(x\) со знаком \(\pm\).
