1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 64°. Ответ дайте в градусах.

[Рисунок: окружность с центром O; на ней отмечены точки A, B, C; построен треугольник ABC.]

2. Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 25°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

[Рисунок: окружность с центром O; B — сверху слева, C — сверху справа, A — снизу слева, D — снизу справа; проведены диаметры AC и BD.]

3. В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD – диаметры. Угол AOD равен 52°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

[Рисунок: окружность с центром O; B — сверху слева, C — сверху справа, A — снизу слева, D — снизу справа; проведены диаметры AC и BD.]

4. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что угол NBA = 55°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

[Рисунок: окружность; A и B — концы горизонтального диаметра, N расположена сверху, M — снизу; показаны углы NBA и NMB.]

Answer

Краткие ответы: 1) $32^\circ$; 2) $130^\circ$; 3) $64^\circ$; 4) $35^\circ$.

1. Угол $AOB$ — центральный, он опирается на меньшую дугу $AB$, равную $64^\circ$. Точка $C$ лежит в той же полуплоскости от $AB$, что и центр $O$, поэтому она находится на большой дуге. Значит, вписанный $\angle ACB$ опирается на меньшую дугу $AB$:

$$
\angle ACB=\frac{\angle AOB}{2}=\frac{64^\circ}{2}=32^\circ.
$$

2. $AC$ — диаметр, значит $A,O,C$ лежат на одной прямой, поэтому

$$
\angle OCB=\angle ACB=25^\circ.
$$

В треугольнике $BOC$ радиусы $OB=OC$, значит углы при основании равны:

$$
\angle OBC=25^\circ,\qquad
\angle BOC=180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ.
$$

Углы $AOD$ и $BOC$ вертикальные, следовательно,

$$
\angle AOD=130^\circ.
$$

3. Углы $AOD$ и $BOC$ вертикальные, поэтому $\angle BOC=52^\circ$. В равнобедренном треугольнике $BOC$ ($OB=OC$) угол при основании $C$ равен

$$
\angle OCB=\frac{180^\circ-52^\circ}{2}=64^\circ.
$$

Так как $O$ лежит на $AC$, угол $ACB$ совпадает с углом $OCB$:

$$
\angle ACB=64^\circ.
$$

4. $AB$ — диаметр, поэтому вписанный угол, опирающийся на него,

$$
\angle ANB=90^\circ.
$$

Тогда в треугольнике $ANB$:

$$
\angle NAB=180^\circ-90^\circ-55^\circ=35^\circ.
$$

Углы $NAB$ и $NMB$ опираются на одну и ту же дугу $NB$, значит,

$$
\angle NMB=\angle NAB=35^\circ.
$$

Проверка: $2\cdot32^\circ=64^\circ$; $180^\circ-2\cdot25^\circ=130^\circ$; $\frac{180^\circ-52^\circ}{2}=64^\circ$; $90^\circ-55^\circ=35^\circ$.