объясни как это решать пошагово

Вот полное решение всех четырёх заданий из упражнения 21.

Сначала выпишем нужные табличные данные: \(G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\) — гравитационная постоянная; \(R_З \approx 6400\ \text{км} = 6{,}4\cdot 10^6\ \text{м}\) — радиус Земли; \(g_0 \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2\) — ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Краткие ответы

1. \(v \approx 6{,}7\ \text{км/с}\)
2. \(R_Л \approx 1{,}74\cdot 10^6\ \text{м}\) (около \(1740\ \text{км}\))
3. \(r \approx 11\,000\ \text{км}\) от центра Земли (или \(h \approx 4700\ \text{км}\) над поверхностью)
4. \(s \approx 2{,}2\ \text{м}\)

---

№1. Скорость спутника на высоте 2600 км

Дано: \(h = 2600\ \text{км} = 2{,}6\cdot 10^6\ \text{м}\) \(M_З = 6\cdot 10^{24}\ \text{кг}\)

Решение: Радиус орбиты спутника — это расстояние от центра Земли: \[ r = R_З + h = 6{,}4\cdot 10^6 + 2{,}6\cdot 10^6 = 9{,}0\cdot 10^6\ \text{м} \]

На спутник действует сила тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Приравняем силу тяготения и центростремительную силу: \[ G\frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \]

Масса спутника \(m\) сокращается, выражаем скорость: \[ v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}} \]

Подставляем числа: \[ v = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{9{,}0\cdot 10^6}} = \sqrt{\frac{40{,}02\cdot 10^{13}}{9{,}0\cdot 10^6}} = \sqrt{44{,}5\cdot 10^6} \approx 6{,}67\cdot 10^3\ \text{м/с} \]

Переводим в километры в секунду: \(v \approx 6{,}7\ \text{км/с}\).

---

№2. Радиус Луны

Дано: \(v = 1{,}67\ \text{км/с} = 1670\ \text{м/с}\) \(g = 1{,}6\ \text{м/с}^2\)

Решение: Для спутника у самой поверхности Луны центростремительное ускорение равно ускорению свободного падения: \[ g = \frac{v^2}{R} \]

Отсюда выражаем радиус: \[ R = \frac{v^2}{g} \]

Подставляем числа: \[ R = \frac{1670^2}{1{,}6} = \frac{2\,788\,900}{1{,}6} \approx 1{,}74\cdot 10^6\ \text{м} \]

В километрах это около \(1740\ \text{км}\).

---

№3. Расстояние, где сила тяготения в 3 раза меньше

Решение: Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра планеты: \[ F_1 = G\frac{m M_З}{R_З^2} \quad \text{(на поверхности)} \] \[ F_2 = G\frac{m M_З}{r^2} \quad \text{(на расстоянии } r \text{ от центра)} \]

По условию сила на высоте в 3 раза меньше: \[ F_1 = 3F_2 \] \[ \frac{1}{R_З^2} = \frac{3}{r^2} \]

Перевернём дроби: \[ r^2 = 3R_З^2 \] \[ r = R_З\sqrt{3} \]

Подставляем \(R_З = 6400\ \text{км}\) и \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\): \[ r \approx 6400 \cdot 1{,}732 \approx 11\,085\ \text{км} \]

Это расстояние от центра Земли. Если нужно найти высоту над поверхностью: \[ h = r - R_З \approx 11\,085 - 6400 \approx 4685\ \text{км} \]

Ответ: на расстоянии около \(11\,000\ \text{км}\) от центра Земли (или около \(4700\ \text{км}\) от поверхности).

---

№4. Путь ракеты за первую секунду падения

Дано: \(h = 3200\ \text{км} = 3{,}2\cdot 10^6\ \text{м}\) \(t = 1\ \text{с}\)

Решение: На высоте \(h\) ускорение свободного падения меньше, чем у поверхности. Оно вычисляется по формуле: \[ g_h = g_0 \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2} \]

Расстояние от центра Земли: \[ R_З + h = 6400 + 3200 = 9600\ \text{км} \]

Найдём \(g_h\): \[ g_h = 9{,}8 \cdot \left(\frac{6400}{9600}\right)^2 = 9{,}8 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 9{,}8 \cdot \frac{4}{9} \approx 4{,}36\ \text{м/с}^2 \]

За первую секунду падения изменение высоты ничтожно мало (метры по сравнению с тысячами километров), поэтому ускорение можно считать постоянным. Начальная скорость равна нулю, значит путь: \[ s = \frac{g_h t^2}{2} = \frac{4{,}36 \cdot 1^2}{2} \approx 2{,}18\ \text{м} \]

С учётом округления: \(s \approx 2{,}2\ \text{м}\).

Коротко: \(1\ \text{км/с} = 1000\ \text{м/с}\) — потому что в километре 1000 метров, а секунда и там и там одна и та же.

Два действия

км/с \(\to\) м/с — умножаем на 1000 (запятая на 3 знака вправо):

\[ 1{,}67\ \frac{\text{км}}{\text{с}} = 1{,}67 \cdot 1000\ \frac{\text{м}}{\text{с}} = 1670\ \frac{\text{м}}{\text{с}}. \]

Именно так в №2: скорость \(1{,}67\) км/с в формулу подставляем уже как \(1670\) м/с, чтобы метры согласовались с \(g = 1{,}6\ \text{м/с}^2\).

м/с \(\to\) км/с — делим на 1000 (запятая на 3 знака влево):

\[ 6670\ \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{6670}{1000}\ \frac{\text{км}}{\text{с}} = 6{,}67\ \frac{\text{км}}{\text{с}}. \]

Так оформлен ответ в №1: считали в м/с, а ответ записали в км/с.

Зачем вообще переводить

Формулы \(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\) и \(R=\dfrac{v^2}{g}\) работают только в согласованных единицах: \(G\) дана в \(\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\), значит \(M\) — в кг, \(r\) — в м, и скорость получится в м/с. Мешать километры и метры в одной формуле нельзя.

Если встретится км/ч

Это другой перевод, не путать:

\[ 1\ \frac{\text{м}}{\text{с}} = 3{,}6\ \frac{\text{км}}{\text{ч}}, \qquad \text{м/с} \to \text{км/ч}: \cdot 3{,}6, \qquad \text{км/ч} \to \text{м/с}: : 3{,}6. \]

Для проверки: \(6{,}67\ \text{км/с} \cdot 3{,}6 = 24\ \text{км/ч}\) на каждый км/с, то есть около \(24\,000\ \text{км/ч}\) — правдоподобно для спутника.

Как не ошибиться

Следи за порядком величины. Если бы в №2 получилось \(v = 1{,}67\ \text{м/с}\), то радиус вышел бы \(R \approx 1{,}7\ \text{м}\) — явная бессмыслица. Скорость спутника у Луны заведомо километры в секунду, поэтому перед подстановкой стоит мысленно спросить: «это вообще правдоподобно?»

Небольшое дополнение про длину, оно тоже пригодится: \(1\ \text{км} = 10^3\ \text{м}\), поэтому

\[ 1{,}74\cdot 10^6\ \text{м} = 1{,}74\cdot 10^3\ \text{км} = 1740\ \text{км}. \]

Да, в №4 можно обойтись без «отношения квадратов» и сразу взять закон всемирного тяготения — так даже короче. Ответ при этом не меняется.

Прямая формула

На высоте \(h\) от поверхности расстояние до центра Земли равно \(R+h\). Ускорение свободного падения там:

\[ g_h=\frac{GM_З}{(R+h)^2}. \]

Ракета начала падать, то есть начальная скорость нулевая, а за 1 с она проходит всего пару метров — значит \(g_h\) за эту секунду практически не меняется. Путь при равноускоренном движении без начальной скорости:

\[ s=\frac{g_h t^2}{2}. \]

Подставляем \(g_h\) и получаем одну общую формулу:

\[ s=\frac{GM_З\,t^2}{2(R+h)^2}. \]

Числа

\[ R+h=6400+3200=9600\ \text{км}=9{,}6\cdot10^6\ \text{м}. \]

Числитель:

\[ GM_З t^2=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot1^2 =4{,}0\cdot10^{14}. \]

Знаменатель:

\[ 2(9{,}6\cdot10^6)^2=2\cdot9{,}216\cdot10^{13} =1{,}84\cdot10^{14}. \]

Тогда

\[ s=\frac{4{,}0\cdot10^{14}}{1{,}84\cdot10^{14}}\approx2{,}17\ \text{м}\approx2{,}2\ \text{м}. \]

Почему это то же самое

Формула \(g_h=g_0\dfrac{R^2}{(R+h)^2}\) получается из \(g_h=\dfrac{GM}{(R+h)^2}\), если подставить \(g_0=\dfrac{GM}{R^2}\). Так что это не разные законы, а одна запись через \(GM\) и другая через известное \(g_0\):

\[ g_h=9{,}8\cdot\left(\frac{6400}{9600}\right)^2=9{,}8\cdot\frac{4}{9}\approx4{,}36\ \text{м/с}^2, \]

\[ s=\frac{4{,}36}{2}\approx2{,}2\ \text{м}. \]

Разница в сотых (2,17 и 2,18) — только из-за округления \(g_0\) и \(GM\).

Зачем вообще так усложнять

Если бы взяли обычное \(g=9{,}8\), вышло бы \(s\approx4{,}9\) м — вдвое больше. На высоте 3200 км притяжение ослабло в \(2{,}25\) раза, и именно это проверяет задача. Поэтому в решении обязательно покажи, что \(g\) на высоте меньше.

Пиши тот вариант, который проходили: через \(g_0R^2/(R+h)^2\) или через \(GM/(R+h)^2\). Оба засчитываются, итог \(s\approx2{,}2\) м.