\[\sqrt{a^2+6a+9}+\sqrt{a^2-6a+9}\]

Краткий ответ: я прочитал на фото выражение \[ \sqrt{a^2+6a+9}+\sqrt{a^2-6a+9}. \] Компактно: \[ \sqrt{a^2+6a+9}+\sqrt{a^2-6a+9}=|a+3|+|a-3|. \] Если нужно раскрыть модули: \[ |a+3|+|a-3|= \begin{cases} -2a, & a\le -3,\\ 6, & -3\le a\le 3,\\ 2a, & a\ge 3. \end{cases} \]

Как решать:

1. Сначала сворачиваем подкоренные выражения по формулам квадрата: \[ a^2+6a+9=(a+3)^2,\qquad a^2-6a+9=(a-3)^2. \]
2. Используем главное правило: \[ \sqrt{t^2}=|t|. \] Поэтому \[ \sqrt{(a+3)^2}=|a+3|,\qquad \sqrt{(a-3)^2}=|a-3|. \]
3. Дальше модули раскрываются по промежуткам. Точки смены знака — \(a=-3\) и \(a=3\).

• При \(a\le -3\) оба выражения внутри модулей неположительны, получается \(-2a\).
• При \(-3\le a\le 3\) первое неотрицательно, второе неположительно, сумма равна \(6\).
• При \(a\ge 3\) оба неотрицательны, сумма равна \(2a\).

Проверка: при \(a=0\): \[ \sqrt9+\sqrt9=3+3=6. \] При \(a=4\): \[ \sqrt{49}+\sqrt1=7+1=8=2\cdot4. \] Всё сходится.