1. Однородный стержень, на одном конце которого подвешен груз весом 120 Н, находится в равновесии в горизонтальном положении
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
УПРАЖНЕНИЕ 22
- Однородный стержень, на одном конце которого подвешен груз весом 120 Н, находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии \(\frac{1}{5}\) длины стержня от груза. Чему равен вес стержня?
- Две девочки массами \(m_1 = 30\) кг и \(m_2 = 35\) кг сидят на концах доски длиной \(L = 6\) м и массой \(M = 25\) кг. Доска находится в равновесии. Определите положение её точки опоры. Чему равна сила реакции опоры, действующая на доску?
Краткий ответ
- Вес стержня \(P = 80\) Н.
- Точка опоры — на расстоянии \(\frac{19}{6}\) м ≈ 3,17 м от конца, где сидит девочка массой 30 кг (или \(\frac{17}{6}\) м ≈ 2,83 м от конца с девочкой 35 кг). Сила реакции опоры \(N = 90g\): при \(g=10\) Н/кг это 900 Н, при \(g=9,8\) Н/кг — 882 Н.
Как это получается
Для равновесия тела на опоре сумма моментов сил относительно точки опоры равна нулю. Момент силы \(M = F \cdot d\), где \(d\) — плечо: кратчайшее расстояние от опоры до линии действия силы. Для вертикальных сил плечо — это горизонтальное расстояние.
Задача 1.
Пусть длина стержня \(L\), его вес \(P\). Груз 120 Н подвешен на конце, опора — на расстоянии \(L/5\) от этого конца. Центр тяжести однородного стержня находится посередине, на \(L/2\) от конца.
Плечо груза: \(L/5\).
Плечо веса стержня: \(L/2 - L/5 = 3L/10\).
Уравнение моментов: \[ 120 \cdot \frac{L}{5} = P \cdot \frac{3L}{10}. \] Сокращаем \(L\): \[ 24 = 0{,}3P,\qquad P = 80\ \text{Н}. \]
Проверка: \(120\cdot\frac{1}{5}=24\) и \(80\cdot\frac{3}{10}=24\). Моменты равны.
Задача 2.
Доска однородная, её вес приложен в середине — на расстоянии \(L/2=3\) м от левого конца. Пусть \(x\) — расстояние от левого конца (где сидит девочка \(m_1=30\) кг) до опоры.
При равновесии на одной опоре опора оказывается под центром тяжести системы. Координата центра масс: \[ x_c = \frac{m_1\cdot 0 + M\cdot \frac{L}{2} + m_2\cdot L}{m_1+M+m_2}. \] Подставляем: \[ x_c = \frac{30\cdot0 + 25\cdot3 + 35\cdot6}{30+25+35} = \frac{75+210}{90} = \frac{285}{90} = \frac{19}{6}\ \text{м} \approx 3{,}17\ \text{м}. \] Это расстояние от конца с девочкой 30 кг. От другого конца: \(6-\frac{19}{6}=\frac{17}{6}\approx2{,}83\) м. Опора ближе к более тяжёлой девочке.
Сила реакции опоры уравновешивает суммарный вес: \[ N=(m_1+M+m_2)g=90g. \] При \(g=10\) Н/кг: \(N=900\) Н; при \(g=9{,}8\) Н/кг: \(N=882\) Н.
Проверка моментов относительно найденной опоры (в массах): \[ 30\cdot\frac{19}{6}+25\cdot\left(\frac{19}{6}-3\right) =35\cdot\left(6-\frac{19}{6}\right). \] Слева \(95+\frac{25}{6}=\frac{595}{6}\), справа \(35\cdot\frac{17}{6}=\frac{595}{6}\). Равно — положение найдено верно.
Что запомнить
- У однородного стержня или доски сила тяжести приложена в середине.
- В равновесии моменты сил слева и справа от опоры равны.
- Если опора одна, её ставят под центр тяжести системы.
- Сила реакции опоры при горизонтальном положении равна суммарному весу.
Обсуждение
4 сообщенияУпражнение 22
1. Ответ: вес стержня \(80\) Н.
Пусть длина стержня \(L\), а его вес \(P\).
Плечо груза относительно опоры:
\[
\frac{L}{5}.
\]
Центр тяжести стержня находится на \(\frac{L}{2}\) от груза, поэтому его плечо:
\[
\frac{L}{2}-\frac{L}{5}=\frac{3L}{10}.
\]
По правилу моментов: \[ 120\cdot\frac{L}{5}=P\cdot\frac{3L}{10}. \] Длина \(L\) сокращается: \[ P=120\cdot\frac{2}{3}=80\ \text{Н}. \]
2. Ответ:
точка опоры находится на расстоянии
\[
\frac{19}{6}\approx3{,}17\ \text{м}
\]
от девочки массой \(30\) кг и на расстоянии
\[
\frac{17}{6}\approx2{,}83\ \text{м}
\]
от девочки массой \(35\) кг.
Иначе: опора смещена от середины доски на \(\frac{1}{6}\approx0{,}17\) м в сторону девочки массой \(35\) кг.
Пусть \(x\) — расстояние от девочки \(30\) кг до опоры. Опора находится правее середины доски, то есть \(x>3\) м. Запишем равенство моментов: \[ 30gx+25g(x-3)=35g(6-x). \] Сократим на \(g\): \[ 30x+25(x-3)=35(6-x), \] \[ 30x+25x-75=210-35x, \] \[ 90x=285, \] \[ x=\frac{19}{6}\approx3{,}17\ \text{м}. \]
Сила реакции опоры равна суммарному весу доски и девочек: \[ N=(30+25+35)g=90g. \] При \(g=10\) Н/кг: \[ N=900\ \text{Н}. \] Если использовать \(g=9{,}8\) Н/кг, то \(N\approx882\) Н.
Это продолжение той же темы: на фото задачи 3–6 — они идут после уже разобранных задач 1–2 и относятся к равновесию и центру тяжести. Решаю их.
3. Линейка, свисающая со стола
Пусть \(L=0{,}75\) м — длина линейки, \(M\) — её масса, \(x\) — длина свисающей части.
В предельном положении равновесия, когда линейка вот-вот опрокинется, моменты относительно края стола равны. Центр тяжести линейки находится посередине, а на конце подвешен груз массой \(2M\):
\[ Mg\left(\frac{L}{2}-x\right)=2Mgx. \]
Сокращаем \(Mg\):
\[ \frac{L}{2}-x=2x, \]
\[ x=\frac{L}{6}=\frac{0{,}75}{6}=0{,}125\ \text{м}=12{,}5\ \text{см}. \]
Ответ: \(12{,}5\) см. Это наибольшая возможная длина свисающей части; при меньшей линейка также будет лежать устойчиво.
4. Стержень на шарнире
Пусть длина стержня \(L\), масса \(m=1\) кг, угол с горизонтом \(\alpha=45^\circ\).
Сила \(F\) действует горизонтально в точке \(B\).
Моменты сил относительно шарнира \(A\):
- момент силы тяжести: \[ mg\cdot \frac{L}{2}\cos\alpha; \]
- момент горизонтальной силы \(F\): \[ F\cdot L\sin\alpha. \]
При равновесии:
\[ mg\frac{L}{2}\cos\alpha=FL\sin\alpha. \]
Отсюда
\[ F=\frac{mg}{2\tan\alpha}. \]
При \(\alpha=45^\circ\), \(\tan\alpha=1\):
\[ F=\frac{mg}{2}. \]
Если \(g\approx 10\) Н/кг:
\[ F=\frac{1\cdot 10}{2}=5\ \text{Н}. \]
Ответ: \(F\approx 5\) Н.
Если брать \(g=9{,}8\) Н/кг, получится \(F\approx4{,}9\) Н.
5. Центр тяжести пластинки на рисунке 74
Нужно найти центр тяжести построением. Способ такой:
- Разбейте пластинку на два прямоугольника.
- У каждого прямоугольника найдите центр тяжести — точку пересечения диагоналей.
- Соедините эти два центра прямой. Общий центр тяжести лежит на этой прямой.
- Разбейте пластинку на два прямоугольника другим способом и снова соедините их центры.
- Точка пересечения двух построенных прямых и есть центр тяжести пластинки.
Для однородной пластинки массы частей пропорциональны их площадям, поэтому общий центр тяжести ближе к той части, площадь которой больше.
6. Алюминиевая и медная пластинки
Плотности:
\[ \rho_{\text{ал}}=2700\ \text{кг/м}^3,\qquad \rho_{\text{меди}}=8900\ \text{кг/м}^3. \]
Размеры пластинок одинаковые, значит их массы относятся как плотности:
\[ \frac{m_{\text{Cu}}}{m_{\text{Al}}} = \frac{8900}{2700} = \frac{89}{27}. \]
Пусть \(a\) — размер каждой пластинки в направлении от алюминия к меди.
Центр тяжести каждой пластинки находится на расстоянии \(a/2\) от границы соединения.
Пусть \(x\) — расстояние от границы соединения до общего центра тяжести в сторону меди. Тогда:
\[ x= \frac{a}{2}\cdot \frac{\rho_{\text{Cu}}-\rho_{\text{Al}}} {\rho_{\text{Cu}}+\rho_{\text{Al}}}. \]
Подставляем:
\[ x= \frac{a}{2}\cdot \frac{8900-2700}{8900+2700} = \frac{a}{2}\cdot\frac{6200}{11600} = \frac{31}{116}a \approx 0{,}267a. \]
Ответ: центр тяжести конструкции смещён от границы соединения в сторону меди на
\[ \boxed{\frac{31}{116}a\approx0{,}267a}, \]
где \(a\) — ширина одной пластинки в направлении соединения.
То есть от внешнего края медной пластинки центр тяжести удалён примерно на \(0{,}733a\), а от внешнего края алюминиевой — примерно на \(1{,}267a\).
Для задания 6 из картона
Нужно вырезать фигуру неправильной формы, подвесить её за одну точку и провести вертикальную линию по отвесу. Затем подвесить за другую точку и снова провести вертикальную линию. Точка пересечения этих линий — центр тяжести фигуры.
