Медиана AD треугольника ABC продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка E соединена с точкой C. а) Докажите, что ΔABD=ΔECD; б) найдите ∠ACE, если ∠ACD=56°, ∠ABD=40°.

Кратко: а) \(\triangle ABD=\triangle ECD\); б) \(\angle ACE=96^\circ\).

Решение по шагам

1. \(AD\) — медиана треугольника \(ABC\), значит \(D\) — середина \(BC\): \[ BD=DC. \]

2. По условию: \[ AD=DE. \]

3. Углы \(\angle ADB\) и \(\angle CDE\) вертикальные, поэтому \[ \angle ADB=\angle CDE. \]

4. В треугольниках \(ABD\) и \(ECD\) равны две стороны и угол между ними. По первому признаку равенства треугольников: \[ \triangle ABD=\triangle ECD. \]

5. В равных треугольниках соответствующие элементы равны. При записи \(\triangle ABD=\triangle ECD\) вершине \(B\) соответствует вершина \(C\), поэтому \[ \angle ECD=\angle ABD=40^\circ. \]

6. Так как \(D\) лежит на \(BC\), а \(A\) и \(E\) находятся по разные стороны от \(BC\), луч \(CD\) проходит внутри угла \(ACE\). Поэтому \[ \angle ACE=\angle ACD+\angle DCE=56^\circ+40^\circ=96^\circ. \]

Проверка: в треугольнике \(ABC\) \[ \angle BAC=180^\circ-40^\circ-56^\circ=84^\circ. \] Из равенства треугольников следует \(AB\parallel CE\), поэтому \[ \angle ACE=180^\circ-84^\circ=96^\circ. \]

Приём для похожих задач: продолжение медианы на её длину даёт пару равных треугольников и позволяет «перенести» нужные углы.