Геометрия: Точка Е-середина боковой стороны СD трапеции АВСD. Параллельно этой стороне через вершину В провели прямую, которая пересекает отрезок АЕ в точке К. Найдите отношение…

Краткий ответ: \(AD:BC=8:5\).
Иначе, от меньшего основания к большему: \(BC:AD=5:8\).

Решение

Сторона \(CD\) — боковая, значит, основания трапеции — это \(AD\) и \(BC\). Обозначим \[ AD=a,\qquad BC=b. \] Выберем координаты так, чтобы основания были горизонтальны: \[ A(0,0),\quad D(a,0),\quad B(t,h),\quad C(t+b,h). \]

1. Точка \(E\) — середина \(CD\), поэтому \[ E\left(\frac{a+b+t}{2},\frac h2\right). \]

2. Так как \(AK:EK=3:5\), точка \(K\) делит отрезок \(AE\) в отношении \(3:5\). Значит, \[ AK=\frac38 AE, \] и \[ K\left(\frac{3(a+b+t)}{16},\frac{3h}{16}\right). \]

3. По условию \(BK\parallel CD\). Найдём векторы: \[ \overrightarrow{CD}=(a-b-t,-h), \] \[ \overrightarrow{BK}=\left(\frac{3(a+b+t)}{16}-t,-\frac{13h}{16}\right). \] По \(y\)-координате видно, что \[ \overrightarrow{BK}=\frac{13}{16}\overrightarrow{CD}. \]

4. Приравниваем \(x\)-координаты: \[ \frac{3(a+b+t)}{16}-t=\frac{13}{16}(a-b-t). \] Умножим на \(16\): \[ 3(a+b+t)-16t=13(a-b-t). \] После раскрытия скобок и сокращения \(t\): \[ 3a+3b=13a-13b, \] \[ 16b=10a, \] \[ \frac{a}{b}=\frac{8}{5}. \]

Следовательно, \[ \boxed{AD:BC=8:5}. \]

Ответ: основания относятся как \(8:5\) (или \(5:8\), если записывать меньшее к большему).