Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_{1}=2,\; x_{2}=3\).
Как решать
Это квадратное уравнение вида \(ax^{2}+bx+c=0\), где \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).
Способ 1 — через дискриминант:
\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
Так как \(D>0\), корней два:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Способ 2 — по теореме Виета (удобно, когда \(a=1\)): сумма корней равна \(-b=5\), произведение равно \(c=6\). Подбираем числа: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\) — это и есть корни.
Способ 3 — разложение на множители:
\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).
Проверка
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Главный принцип: для уравнения \(x^{2}+bx+c=0\) ищи два числа, которые в сумме дают \(-b\), а в произведении — \(c\). Если подобрать трудно, всегда работает дискриминант.
Обсуждение
2 сообщенияПример
Пример по тому же принципу
Решим уравнение
\[ x^{2}-7x+12=0 \]
Здесь \(a=1,\ b=-7,\ c=12\).
1. Теорема Виета. Ищем два числа, у которых сумма равна \(-b=7\), а произведение равно \(c=12\). Перебираем пары множителей числа 12: \(1\) и \(12\) (сумма 13), \(2\) и \(6\) (сумма 8), \(3\) и \(4\) (сумма 7). Подходит последняя пара:
\[ x_{1}=3,\qquad x_{2}=4 \]
2. Проверка через дискриминант.
\[ D=(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}\ \Rightarrow\ x_{1}=3,\quad x_{2}=4 \]
3. Через разложение на множители.
\[ x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4)=0 \]
Отсюда \(x=3\) или \(x=4\) — то же самое.
Проверка: \(3^{2}-7\cdot 3+12=9-21+12=0\) и \(4^{2}-7\cdot 4+12=16-28+12=0\). Всё верно.
Второй пример — на знаки. Уравнение
\[ x^{2}+2x-15=0 \]
Сумма корней равна \(-2\), произведение равно \(-15\). Произведение отрицательное, значит корни разных знаков. Подходят \(-5\) и \(3\): сумма \(-2\), произведение \(-15\). Ответ: \(x_{1}=-5,\ x_{2}=3\).
Вывод: если \(c>0\) — корни одного знака (оба положительные при \(b<0\), оба отрицательные при \(b>0\)); если \(c<0\) — корни разных знаков. Это сразу подсказывает, какие числа подбирать.
Хочешь, дам пару уравнений для самостоятельной тренировки с ответами для самопроверки?
