Реши задачку 5

На карточке № 5 два номера: шесть выражений и четыре уравнения. Решаю оба.

Краткие ответы

1. а) \(1\); б) \(8\); в) \(-14{,}2\); г) \(-\frac{61}{21}\); д) \(5\); е) \(-\frac{91}{12}\).

2. а) \(x=\frac{4}{81}\); б) \(x=\frac{49}{16}\); в) \(x=\frac{9}{10}\); г) \(x=\frac75\).

Как это получается

1. Значения выражений

а) \(\sqrt{900}=30\), \(\sqrt{64}=8\), поэтому
\[ 0{,}1\cdot30-\frac14\cdot8=3-2=1. \]

б) \(\sqrt{25}=5\), \(\sqrt{0{,}04}=0{,}2\), \(3^3+22=27+22=49\), поэтому
\[ 5\cdot0{,}2+\sqrt{49}=1+7=8. \]

в) \(\sqrt{0{,}49}=0{,}7\), \(8^2+15^2=64+225=289\), \(\sqrt{289}=17\), поэтому
\[ 4\cdot0{,}7-17=2{,}8-17=-14{,}2. \]

г) Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
\(2\frac{2}{49}=\frac{100}{49}\), \(2\frac{7}{9}=\frac{25}{9}\), \(\sqrt{40000}=200\).
Тогда
\[ \frac{10}{7}+\frac53-0{,}03\cdot200 =\frac{65}{21}-6 =-\frac{61}{21}. \]

д)
\[ 0{,}7\cdot10-\frac13\cdot6=7-2=5. \]

е) \(7\frac19=\frac{64}{9}\), \(3\frac{1}{16}=\frac{49}{16}\), \(\sqrt{90000}=300\).
Тогда
\[ \frac83+\frac74-0{,}04\cdot300 =\frac{53}{12}-12 =-\frac{91}{12}. \]

2. Уравнения

Общий приём: уравнение \(\sqrt{f(x)}=c\) при \(c\ge0\) решают возведением в квадрат: \(f(x)=c^2\). После этого проверяют, что подкоренное выражение неотрицательно.

а)
\[ \sqrt{x}=\frac29 \quad\Rightarrow\quad x=\left(\frac29\right)^2=\frac{4}{81}. \] Проверка: \(\sqrt{\frac{4}{81}}=\frac29\). Подходит.

б)
\[ 4\sqrt{x}-7=0 \quad\Rightarrow\quad 4\sqrt{x}=7 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=\frac74 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{49}{16}. \] Проверка: \(4\cdot\frac74-7=0\).

в)
\[ \sqrt{10x-9}=0 \quad\Rightarrow\quad 10x-9=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac9{10}=0{,}9. \] Проверка: \(\sqrt{0}=0\).

г)
\[ \sqrt{5x-6}=1 \quad\Rightarrow\quad 5x-6=1 \quad\Rightarrow\quad 5x=7 \quad\Rightarrow\quad x=\frac75=1{,}4. \] Проверка: \(\sqrt{1}=1\).

Все найденные корни подходят. Важно помнить: \(\sqrt{f(x)}\) не может быть отрицательным, поэтому уравнение \(\sqrt{f(x)}=c\) при \(c<0\) решений не имеет.