Реши примеры только 1 варианта
Сверь числа и знаки с фото.
ЛОГАРИФМЫ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1 11. \(3\log_2 8-5\log_3 1\) 12. \(\log_{1/3}27+4\log_5 0{,}2\) 13. \(6\log_e e^5-2\log_9 \frac{1}{81}\) 14. \(\log_{0{,}5}16+\ln e^7\) 15. \(2\log_7 \frac{1}{49}-3\log_2 32\) 16. \(\lg 10^4-5\ln e^3\) 17. \(\log_{\sqrt{2}}32+3\log_4 0{,}25\) 18. \(4\log_{16}\log_3 81\) 19. \(\log_{\sqrt{3}}^2 9+\log_2^3 0{,}125\) 20. \(\log_{25}625+2\log_{0{,}2}125\)
Только вариант 1.
Ответы:
11) \(9\)
12) \(-7\)
13) \(34\)
14) \(3\)
15) \(-19\)
16) \(-11\)
17) \(7\)
18) \(2\)
19) \(-11\)
20) \(-4\)
Принцип решения. Числа и основания сводим к степеням одного числа, используем
\[
\log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\log_a b,\qquad \log_a 1=0.
\]
В №19 запись \(\log_a^2 b\) понимаю как \(\left(\log_a b\right)^2\), а \(\log_a^3 b\) — как \(\left(\log_a b\right)^3\).
11. \[ 3\log_2 8-5\log_3 1=3\cdot3-5\cdot0=9. \]
12. \[ \log_{1/3}27+4\log_5 0{,}2 =\log_{3^{-1}}3^3+4\log_5 5^{-1} =-3+4(-1)=-7. \]
13. \[ 6\log_e e^5-2\log_9\frac{1}{81} =6\cdot5-2\log_{3^2}3^{-4} =30-2(-2)=34. \]
14. \[ \log_{0{,}5}16+\ln e^7 =\log_{2^{-1}}2^4+7 =-4+7=3. \]
15. \[ 2\log_7\frac{1}{49}-3\log_2 32 =2(-2)-3\cdot5=-4-15=-19. \]
16. \[ \lg 10^4-5\ln e^3=4-5\cdot3=-11. \]
17. \[ \log_{\sqrt2}32+3\log_4 0{,}25 =\log_{2^{1/2}}2^5+3\log_{2^2}2^{-2} =10+3(-1)=7. \]
18. Сначала считаем внутренний логарифм: \[ 4\log_{16}(\log_3 81)=4\log_{16}4 =4\cdot\frac12=2. \]
19. \[ (\log_{\sqrt3}9)^2+(\log_2 0{,}125)^3 =4^2+(-3)^3 =16-27=-11. \]
20. \[ \log_{25}625+2\log_{0{,}2}125 =\log_{5^2}5^4+2\log_{5^{-1}}5^3 =2+2(-3)=-4. \]
Проверка для минусов: \(\left(\frac13\right)^{-3}=27\), \(0{,}2^{-3}=125\), \(2^{-3}=0{,}125\), поэтому соответствующие логарифмы действительно равны \(-3\).
Обсуждение
2 сообщенияРеши примеры по математике только 1 варианта с полным, подробным решением
Решаю только вариант 1. Использую свойства логарифмов:
\[ \log_a a^n=n,\qquad \log_a1=0, \] \[ \log_{a^k}b=\frac1k\log_a b,\qquad \log_a b^n=n\log_a b, \] \[ \lg x=\log_{10}x,\qquad \ln x=\log_e x. \]
Основной приём: представляем основание и число в виде степеней одного числа.
\[ \log_a b=x \iff a^x=b. \]
11. \(3\log_2 8-5\log_3 1\)
\[ \log_2 8=\log_2 2^3=3, \] \[ \log_3 1=0. \]
Тогда
\[ 3\cdot3-5\cdot0=9. \]
Ответ: \(9\).
12. \(\log_{1/3}27+4\log_5 0{,}2\)
Представим числа через степени 3 и 5:
\[ \frac13=3^{-1},\qquad 27=3^3, \] поэтому
\[ \log_{1/3}27=\log_{3^{-1}}3^3=-3. \]
Далее:
\[ 0{,}2=\frac15=5^{-1}, \]
значит,
\[ \log_5 0{,}2=\log_5 5^{-1}=-1. \]
Получаем:
\[ -3+4\cdot(-1)=-3-4=-7. \]
Ответ: \(-7\).
13. \(6\log_e e^5-2\log_9\frac{1}{81}\)
Так как основание логарифма равно \(e\),
\[ \log_e e^5=5. \]
Далее:
\[ \frac{1}{81}=81^{-1}=3^{-4}. \]
Но основание равно \(9=3^2\), поэтому
\[ \log_9\frac{1}{81} =\log_{3^2}3^{-4} =\frac{-4}{2}=-2. \]
Или проверкой:
\[ 9^{-2}=\frac{1}{81}. \]
Тогда
\[ 6\cdot5-2\cdot(-2)=30+4=34. \]
Ответ: \(34\).
14. \(\log_{0{,}5}16+\ln e^7\)
Запишем:
\[ 0{,}5=\frac12=2^{-1},\qquad 16=2^4. \]
Поэтому
\[ \log_{0{,}5}16 =\log_{2^{-1}}2^4 =\frac{4}{-1}=-4. \]
Кроме того,
\[ \ln e^7=7. \]
Следовательно,
\[ -4+7=3. \]
Ответ: \(3\).
15. \(2\log_7\frac{1}{49}-3\log_2 32\)
Имеем:
\[ \frac{1}{49}=7^{-2}, \]
поэтому
\[ \log_7\frac{1}{49}=-2. \]
Также
\[ 32=2^5, \]
значит,
\[ \log_2 32=5. \]
Подставляем:
\[ 2\cdot(-2)-3\cdot5=-4-15=-19. \]
Ответ: \(-19\).
16. \(\lg 10^4-5\ln e^3\)
По определению десятичного логарифма:
\[ \lg10^4=\log_{10}10^4=4. \]
Далее:
\[ \ln e^3=\log_e e^3=3. \]
Следовательно,
\[ 4-5\cdot3=4-15=-11. \]
Ответ: \(-11\).
17. \(\log_{\sqrt2}32+3\log_4 0{,}25\)
Заметим:
\[ \sqrt2=2^{1/2},\qquad 32=2^5. \]
Тогда
\[ \log_{\sqrt2}32 =\log_{2^{1/2}}2^5 =5:\frac12=10. \]
Теперь:
\[ 0{,}25=\frac14=4^{-1}, \]
поэтому
\[ \log_4 0{,}25=\log_4 4^{-1}=-1. \]
Получаем:
\[ 10+3\cdot(-1)=10-3=7. \]
Ответ: \(7\).
18. \(4\log_{16}\log_3 81\)
Сначала вычисляем внутренний логарифм:
\[ \log_3 81=\log_3 3^4=4. \]
Теперь выражение принимает вид:
\[ 4\log_{16}4. \]
Так как
\[ 16=4^2, \]
то
\[ \log_{16}4 =\log_{4^2}4 =\frac{1}{2}. \]
Следовательно,
\[ 4\cdot\frac12=2. \]
Ответ: \(2\).
19. \(\log_{\sqrt3}^{2}9+\log_2^{3}0{,}125\)
Запись \(\log_{\sqrt3}^{2}9\) означает квадрат логарифма:
\[ \left(\log_{\sqrt3}9\right)^2, \]
а \(\log_2^{3}0{,}125\) означает куб логарифма:
\[ \left(\log_2 0{,}125\right)^3. \]
Сначала:
\[ \sqrt3=3^{1/2},\qquad 9=3^2. \]
Поэтому
\[ \log_{\sqrt3}9 =\log_{3^{1/2}}3^2 =2:\frac12=4. \]
Значит,
\[ \left(\log_{\sqrt3}9\right)^2=4^2=16. \]
Далее:
\[ 0{,}125=\frac18=2^{-3}, \]
поэтому
\[ \log_2 0{,}125=-3. \]
Тогда
\[ \left(\log_2 0{,}125\right)^3=(-3)^3=-27. \]
Складываем:
\[ 16+(-27)=16-27=-11. \]
Ответ: \(-11\).
20. \(\log_{25}625+2\log_{0{,}2}125\)
Представим основания и числа через степень 5:
\[ 25=5^2,\qquad 625=5^4. \]
Тогда
\[ \log_{25}625 =\log_{5^2}5^4 =\frac{4}{2}=2. \]
Далее:
\[ 0{,}2=\frac15=5^{-1},\qquad 125=5^3. \]
Значит,
\[ \log_{0{,}2}125 =\log_{5^{-1}}5^3 =\frac{3}{-1}=-3. \]
Подставляем:
\[ 2+2\cdot(-3)=2-6=-4. \]
Ответ: \(-4\).
Итоговые ответы варианта 1
\[ \boxed{ \begin{aligned} 11)&\,9\\ 12)&\,-7\\ 13)&\,34\\ 14)&\,3\\ 15)&\,-19\\ 16)&\,-11\\ 17)&\,7\\ 18)&\,2\\ 19)&\,-11\\ 20)&\,-4 \end{aligned}} \]
