Реши все И объясни все
Сверь числа и знаки с фото.
Карточка № 5
- Найдите значение выражения. а) \(0{,}1\sqrt{900}-\dfrac{1}{4}\sqrt{64}\) б) \(\sqrt{25}\cdot\sqrt{0{,}04}+\sqrt{3^3+22}\) в) \(4\sqrt{0{,}49}-\sqrt{8^2+15^2}\) г) \(\sqrt{2\dfrac{2}{49}}+\sqrt{2\dfrac{7}{9}}-0{,}03\sqrt{40000}\) д) \(0{,}7\sqrt{100}-\dfrac{1}{3}\sqrt{36}\) е) \(\sqrt{7\dfrac{1}{9}}+\sqrt{3\dfrac{1}{16}}-0{,}04\sqrt{90000}\)
- Решите уравнение. а) \(\sqrt{x}=\dfrac{2}{9}\) б) \(4\sqrt{x}-7=0\) в) \(\sqrt{10x-9}=0\) г) \(\sqrt{5x-6}=1\)
Краткие ответы
1. Значения выражений
| ответ | |
|---|---|
| а) | \(1\) |
| б) | \(8\) |
| в) | \(-14{,}2\) |
| г) | \(-\dfrac{61}{21}=-2\dfrac{19}{21}\) |
| д) | \(5\) |
| е) | \(-\dfrac{91}{12}=-7\dfrac{7}{12}\) |
2. Корни уравнений
| ответ | |
|---|---|
| а) | \(x=\dfrac{4}{81}\) |
| б) | \(x=\dfrac{49}{16}=3\dfrac{1}{16}\) |
| в) | \(x=0{,}9\) |
| г) | \(x=1{,}4\) |
Как это получается: три правила
- \(\sqrt{a^2}=a\) при \(a>0\): \(\sqrt{900}=30\), так как \(30^2=900\); \(\sqrt{0{,}04}=0{,}2\), так как \(0{,}2^2=0{,}04\).
- \(\sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b\), \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\). Поэтому смешанное число сначала переводим в неправильную дробь, а потом извлекаем корень: \(2\dfrac{2}{49}=\dfrac{100}{49}\), и \(\sqrt{\dfrac{100}{49}}=\dfrac{10}{7}\).
- Ловушка: \(\sqrt{a^2+b^2}\neq a+b\). Нужно сначала сложить квадраты, потом извлекать корень.
№ 1
а) \(0{,}1\cdot\sqrt{900}-\dfrac14\sqrt{64}=0{,}1\cdot30-\dfrac14\cdot8=3-2=1\).
б) \(\sqrt{25}\cdot\sqrt{0{,}04}+\sqrt{3^3+22}=5\cdot0{,}2+\sqrt{27+22}=1+\sqrt{49}=1+7=8\). Под корнем стоит вся сумма \(3^3+22\), а не только \(3^3\).
в) \(4\sqrt{0{,}49}-\sqrt{8^2+15^2}=4\cdot0{,}7-\sqrt{64+225}=2{,}8-\sqrt{289}=2{,}8-17=-14{,}2\). Квадраты складываем под корнем: \(8^2+15^2=64+225=289=17^2\).
г) \(\sqrt{\dfrac{100}{49}}+\sqrt{\dfrac{25}{9}}-0{,}03\cdot200=\dfrac{10}{7}+\dfrac53-6=\dfrac{30+35}{21}-\dfrac{126}{21}=-\dfrac{61}{21}\).
д) \(0{,}7\cdot10-\dfrac13\cdot6=7-2=5\).
е) \(\sqrt{\dfrac{64}{9}}+\sqrt{\dfrac{49}{16}}-0{,}04\cdot300=\dfrac83+\dfrac74-12=\dfrac{32+21}{12}-\dfrac{144}{12}=-\dfrac{91}{12}\).
№ 2: схема «уединить корень → возвести в квадрат → проверить»
а) \(\sqrt x=\dfrac29\), значит \(x=\left(\dfrac29\right)^2=\dfrac{4}{81}\). Проверка: \(\sqrt{\dfrac{4}{81}}=\dfrac29\) — верно.
б) \(4\sqrt x-7=0\Rightarrow 4\sqrt x=7\Rightarrow\sqrt x=\dfrac74\Rightarrow x=\dfrac{49}{16}\). Проверка: \(4\cdot\dfrac74-7=0\).
в) \(\sqrt{10x-9}=0\Rightarrow 10x-9=0\Rightarrow x=0{,}9\). Корень равен нулю только когда подкоренное выражение равно нулю.
г) \(\sqrt{5x-6}=1\Rightarrow 5x-6=1\Rightarrow 5x=7\Rightarrow x=1{,}4\). Проверка: \(\sqrt{7-6}=\sqrt1=1\).
Вывод-памятка: в уравнениях с корнем всегда делай проверку — при возведении в квадрат могут появиться «лишние» корни; в ответе \(x\) должен быть таким, чтобы под корнем стояло неотрицательное число.
