Вариант 1

Задача 1

Дано:
\(CF\parallel BE\), \(AE=6\) см, \(EF=14\) см, \(BC=35\) см.
По рисунку точки \(A,B,C\) лежат на одной прямой, а \(A,E,F\) — на другой.

Найти: \(AB\).

Решение:

\[ AF=AE+EF=6+14=20\text{ см} \]

\[ AC=AB+BC=AB+35 \]

Так как \(BE\parallel CF\), то треугольники \(ABE\) и \(ACF\) подобны:

\[ \triangle ABE\sim\triangle ACF \]

Отсюда:

\[ \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF} \]

Подставляем:

\[ \frac{AB}{AB+35}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10} \]

\[ 10AB=3(AB+35) \]

\[ 10AB=3AB+105 \]

\[ 7AB=105 \]

\[ AB=15\text{ см} \]

Ответ: \(AB=15\) см.

---

Задача 2

Дано:
\(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\).
Сторонам \(AC\) и \(BC\) соответствуют стороны \(A_1C_1\) и \(B_1C_1\).
\(AC=28\) см, \(AB=49\) см, \(B_1C_1=24\) см, \(A_1C_1=16\) см.

Найти: \(BC\) и \(A_1B_1\).

Решение:

Так как треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны:

\[ \frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1} \]

Найдём коэффициент подобия:

\[ \frac{AC}{A_1C_1}=\frac{28}{16}=\frac{7}{4} \]

Тогда:

\[ \frac{BC}{24}=\frac{7}{4} \]

\[ BC=\frac{24\cdot7}{4}=42\text{ см} \]

Далее:

\[ \frac{49}{A_1B_1}=\frac{7}{4} \]

\[ A_1B_1=\frac{49\cdot4}{7}=28\text{ см} \]

Ответ: \(BC=42\) см, \(A_1B_1=28\) см.

---

Задача 3

Дано:
В треугольнике \(ABC\) отрезок \(CK\) — биссектриса, \(K\in AB\).
\(AC=45\) см, \(AK=18\) см, \(BK=10\) см.

Найти: \(BC\).

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

\[ \frac{AK}{BK}=\frac{AC}{BC} \]

Подставляем данные:

\[ \frac{18}{10}=\frac{45}{BC} \]

\[ 18BC=450 \]

\[ BC=25\text{ см} \]

Ответ: \(BC=25\) см.

---

Задача 4

Дано:
В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AB\) отмечена точка \(M\), причём

\[ AM:MB=4:9 \]

Через точку \(M\) проведена прямая, параллельная \(BC\), она пересекает \(AC\) в точке \(K\).
\(BC=26\) см.

Найти: \(MK\).

Решение:

Так как \(MK\parallel BC\), то

\[ \triangle AMK\sim\triangle ABC \]

Значит:

\[ \frac{MK}{BC}=\frac{AM}{AB} \]

Найдём отношение \(AM:AB\). Поскольку \(AM:MB=4:9\), то

\[ AB=AM+MB \]

и

\[ \frac{AM}{AB}=\frac{4}{4+9}=\frac{4}{13} \]

Тогда:

\[ \frac{MK}{26}=\frac{4}{13} \]

\[ MK=\frac{26\cdot4}{13}=8\text{ см} \]

Ответ: \(MK=8\) см.

Коротко, без длинных объяснений:

1. \(BE\parallel CF\), значит \(\triangle ABE\sim\triangle ACF\).
\(AF=6+14=20\) см.
\[ \frac{AB}{AB+35}=\frac{6}{20} \] \[ AB=15\text{ см} \]

2. Коэффициент подобия: \[ k=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{28}{16}=\frac74 \] \[ BC=24\cdot\frac74=42\text{ см} \] \[ A_1B_1=\frac{49}{7/4}=28\text{ см} \]

3. По свойству биссектрисы: \[ \frac{AK}{BK}=\frac{AC}{BC} \] \[ BC=\frac{45\cdot10}{18}=25\text{ см} \]

4. \(MK\parallel BC\), поэтому \(\triangle AMK\sim\triangle ABC\): \[ \frac{AM}{AB}=\frac{4}{4+9}=\frac{4}{13} \] \[ MK=26\cdot\frac{4}{13}=8\text{ см} \]

Ответы: 1) 15 см; 2) \(BC=42\) см, \(A_1B_1=28\) см; 3) 25 см; 4) 8 см.