129 Отрезки AC и BD пересекаются в середине O отрезка AC, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что ΔBOA = ΔDOC.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
129 Отрезки \(AC\) и \(BD\) пересекаются в середине \(O\) отрезка \(AC\), \(\angle BCO=\angle DAO\). Докажите, что \(\triangle BOA=\triangle DOC\).
Краткий ответ. \(\triangle BOA\cong\triangle DOC\). Недостающее равенство \(BO=DO\) получаем из равенства треугольников \(AOD\) и \(COB\).
Доказательство.
\(O\) — середина \(AC\), поэтому \[ AO=OC. \] Точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, а \(B,O,D\) — на другой.
Углы \(\angle AOD\) и \(\angle COB\) вертикальные, значит, \[ \angle AOD=\angle COB. \] По условию \[ \angle DAO=\angle BCO. \] Сторона \(AO\) в треугольнике \(AOD\) прилежит к углам \(\angle DAO\) и \(\angle AOD\), а равная ей сторона \(CO\) в треугольнике \(COB\) — к равным им углам. Поэтому \[ \triangle AOD\cong\triangle COB \] по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда следует \[ OD=OB. \]
Рассмотрим нужные треугольники \(BOA\) и \(DOC\): \[ BO=DO,\qquad AO=CO, \] а углы между этими сторонами вертикальные: \[ \angle BOA=\angle DOC. \] Значит, по двум сторонам и углу между ними \[ \triangle BOA\cong\triangle DOC. \]
Проверка соответствия вершин: \(B\leftrightarrow D,\ O\leftrightarrow O,\ A\leftrightarrow C\). То есть \(BO\) соответствует \(DO\), \(OA\) — \(OC\), а \(BA\) — \(DC\).
