Решение график функции
Сверь числа и знаки с фото.
Подготовка к работе \(y=|x-3|+2\) \(y=x^3\) \(y=(x+1)^2-2\) \(y=x^4\) \(y=(x-2)^2-1\) \(y=|x+1|-3\) \(y=\sqrt{x-1}+1\) \(y=\frac{2}{x-1}+4\)
Коротко
Все шесть графиков — это сдвиги базовых графиков. Опорные точки:
- \(y=|x-3|+2\) — вершина \((3;2)\).
- \(y=(x+1)^2-2\) — вершина \((-1;-2)\).
- \(y=(x-2)^2-1\) — вершина \((2;-1)\).
- \(y=|x+1|-3\) — вершина \((-1;-3)\).
- \(y=\sqrt{x-1}+1\) — начало \((1;1)\).
- \(y=\frac{2}{x-1}+4\) — асимптоты \(x=1\) и \(y=4\).
Принцип
Если известен график \(y=f(x)\), то график
\[ y=f(x-a)+b \]
получается сдвигом:
- на \(a\) вправо, если \(a>0\) (если \(a<0\) — на \(|a|\) влево);
- на \(b\) вверх, если \(b>0\) (если \(b<0\) — на \(|b|\) вниз).
Сначала находим опорную точку: у модуля и квадрата — вершину, у корня — начало, у дроби — асимптоты. Затем берём 2–3 точки справа и слева и соединяем.
Построение по функциям
\(y=|x-3|+2\).
База — \(y=|x|\). Сдвиг: вправо на 3, вверх на 2. Вершина \((3;2)\).
Точки: \((0;5)\), \((1;4)\), \((2;3)\), \((3;2)\), \((4;3)\), \((5;4)\).
График — «галочка» с ветвями вверх под углом \(45^\circ\). Область значений \([2;+\infty)\).\(y=(x+1)^2-2\).
База — \(y=x^2\). Сдвиг: влево на 1, вниз на 2. Вершина \((-1;-2)\), ось симметрии \(x=-1\).
Точки: \((-3;2)\), \((-2;-1)\), \((-1;-2)\), \((0;-1)\), \((1;2)\).
Парабола вверх. Нули: \(x=-1\pm\sqrt{2}\).\(y=(x-2)^2-1\).
База — \(y=x^2\). Сдвиг: вправо на 2, вниз на 1. Вершина \((2;-1)\), ось \(x=2\).
Точки: \((0;3)\), \((1;0)\), \((2;-1)\), \((3;0)\), \((4;3)\).
Парабола вверх. Нули: \(x=1\) и \(x=3\).\(y=|x+1|-3\).
База — \(y=|x|\). Сдвиг: влево на 1, вниз на 3. Вершина \((-1;-3)\).
Точки: \((-4;0)\), \((-3;-1)\), \((-2;-2)\), \((-1;-3)\), \((0;-2)\), \((1;-1)\), \((2;0)\).
«Галочка» вверх. Нули: \(x=-4\) и \(x=2\).\(y=\sqrt{x-1}+1\).
База — \(y=\sqrt{x}\). Сдвиг: вправо на 1, вверх на 1. Начало \((1;1)\).
Область определения \(x\ge1\), область значений \(y\ge1\).
Точки: \((1;1)\), \((2;2)\), \((5;3)\), \((10;4)\).
Ветвь возрастает и постепенно выполаживается.\(y=\frac{2}{x-1}+4\).
База — \(y=\frac{2}{x}\). Сдвиг: вправо на 1, вверх на 4.
Асимптоты: \(x=1\) (вертикальная) и \(y=4\) (горизонтальная).
При \(x>1\) ветвь выше \(y=4\): точки \((2;6)\), \((3;5)\), \((5;4{,}5)\).
При \(x<1\) ветвь ниже \(y=4\): точки \((0;2)\), \((-1;3)\), \((-3;3{,}5)\).
Обе ветви убывают на своих промежутках, к асимптотам только приближаются. Нуль функции: \(x=0{,}5\).
Проверка
Подставляем точку в формулу — координаты должны сходиться:
- №1, \(x=4\): \(|4-3|+2=1+2=3\), точка \((4;3)\).
- №2, \(x=0\): \((0+1)^2-2=1-2=-1\), точка \((0;-1)\).
- №3, \(x=3\): \((3-2)^2-1=1-1=0\), точка \((3;0)\).
- №4, \(x=2\): \(|2+1|-3=3-3=0\), точка \((2;0)\).
- №5, \(x=5\): \(\sqrt{5-1}+1=2+1=3\), точка \((5;3)\).
- №6, \(x=2\): \(\frac{2}{2-1}+4=2+4=6\), точка \((2;6)\).
Базовые графики справа
\(y=x^3\) — кубическая парабола: проходит через \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\), возрастает, нечётная.
\(y=x^4\) — похожа на \(y=x^2\), но около нуля более пологая, а при \(|x|>1\) растёт быстрее; проходит через \((-1;1)\), \((0;0)\), \((1;1)\), чётная.
Верхняя часть страницы — проверка корней другого уравнения; к заданию с графиками она не относится. Если нужно разобрать и её, пришли фрагмент крупнее.
Обсуждение
5 сообщений?
Построй график функции
Похоже, нужен сам чертёж, а не только формулы. Картинку я прислать не могу, но ниже — готовые точки и порядок построения: по ним графики легко перенести на клетчатую бумагу. Масштаб удобно взять 1 клетка = 1 единица.
1. \(y=|x-3|+2\)
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 5 | 4 | 3 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Вершина — \((3;2)\). Это «галочка»: от вершины два прямых луча вверх под \(45^\circ\).
2. \(y=(x+1)^2-2\)
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 7 | 2 | \(-1\) | \(-2\) | \(-1\) | 2 | 7 |
Вершина — \((-1;-2)\), ось симметрии \(x=-1\). Парабола ветвями вверх.
3. \(y=(x-2)^2-1\)
| \(x\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 8 | 3 | 0 | \(-1\) | 0 | 3 | 8 |
Вершина — \((2;-1)\), ось симметрии \(x=2\). Парабола ветвями вверх.
4. \(y=|x+1|-3\)
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 0 | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 |
Вершина — \((-1;-3)\). Снова «галочка» из двух лучей вверх.
5. \(y=\sqrt{x-1}+1\)
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | \(\approx 2{,}41\) | 3 | 4 | 5 |
Начало — \((1;1)\). График существует только при \(x\ge 1\): плавная кривая вправо-вверх, постепенно выполаживается. Слева от \(x=1\) ничего не рисуем.
6. \(y=\frac{2}{x-1}+4\)
| \(x\) | \(-7\) | \(-3\) | \(-1\) | 0 | 2 | 3 | 5 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(3{,}75\) | \(3{,}5\) | 3 | 2 | 6 | 5 | \(4{,}5\) | \(4{,}25\) |
Сначала пунктиром нарисуй асимптоты:
- вертикальную \(x=1\);
- горизонтальную \(y=4\).
Потом две ветви гиперболы:
- левая — ниже прямой \(y=4\), уходит вниз к \(-\infty\) при приближении к \(x=1\);
- правая — выше прямой \(y=4\), приходит сверху от \(+\infty\) и приближается к \(y=4\).
Нуль функции — \(x=0{,}5\), там график пересекает ось \(Ox\).
Дополнительно: базовые графики справа
\(y=x^3\) проходит через \((-2;-8)\), \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;8)\).
\(y=x^4\) проходит через \((-2;16)\), \((-1;1)\), \((0;0)\), \((1;1)\), \((2;16)\); по форме похож на \(y=x^2\), но у нуля более пологий.
Проверь себя: подставь любую \(x\) из таблицы в формулу — должна получиться соответствующая \(y\).
А где рисунок
Рисунок вставить в ответ я не могу — картинки в чат не отправляю. Но вот схематические чертежи по клеткам: их легко перерисовать в тетрадь. Обозначения: * — точка графика, | — асимптота.
1. \(y=|x-3|+2\)
y
6 . . . . . . .
5 * . . . . . *
4 . * . . . * .
3 . . * . * . .
2 . . . * . . .
1 . . . . . . .
0--+--+--+--+--+--+--+--> x
0 1 2 3 4 5 6
2. \(y=(x+1)^2-2\)
y
2 * . . . *
1 . . . . .
0--+--+--+--+--+--> x
-1 . * . * .
-2 . . * . .
-3 -2 -1 0 1
3. \(y=(x-2)^2-1\)
y
3 * . . . *
2 . . . . .
1 . . . . .
0--+--+--+--+--+--> x
-1 . . * . .
0 1 2 3 4
Точки \((1;0)\) и \((3;0)\) лежат прямо на оси \(Ox\).
4. \(y=|x+1|-3\)
y
0 * . . . . . *
-1 . * . . . * .
-2 . . * . * . .
-3 . . . * . . .
-4 -3 -2 -1 0 1 2
5. \(y=\sqrt{x-1}+1\)
y
3 . . . . * <- (5;3)
2 . * . . .
1 * . . . . <- начало (1;1)
1 2 3 4 5
Левее \(x=1\) графика нет вообще.
6. \(y=\frac{2}{x-1}+4\)
y=6 . . | * .
y=5 . . | . *
y=4 - - - -|- - - - - <- асимптота y = 4
y=3 * . | . .
y=2 . * | . .
-1 0 1 2 3
Вертикальная асимптота \(x=1\) рисуется пунктиром, обе ветви к ней только приближаются.
Как переносить на бумагу
- Начерти оси и подпиши масштаб (1 клетка = 1).
- Отметь вершину (или начало/асимптоты) — она главная.
- Поставь 2–3 точки справа и слева из таблицы.
- Соедини плавно: у модуля — прямые лучи, у параболы — симметричная дуга, у корня — плавная ветвь, у дроби — две отдельные ветви.
Список функций на фото совпадает с тем, что мы разбираем, — переписывать его не нужно. Верх страницы с проверкой корней к этому заданию не относится.
