108 Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол M тупой.

Краткий ответ: в остроугольном треугольнике \(ABC\) все три высоты проходят внутри треугольника и пересекаются в одной точке. В треугольнике \(MNP\) с тупым углом \(M\) высота из \(M\) идёт к стороне \(NP\), а высоты из \(N\) и \(P\) — к продолжениям сторон \(MP\) и \(MN\) за точку \(M\).

Как построить

1. Начерти \(\triangle ABC\), у которого все углы острые.

2. Опусти перпендикуляры:

   • из \(A\) на \(BC\);
   • из \(B\) на \(AC\);
   • из \(C\) на \(AB\).

   Все основания высот лежат на сторонах треугольника. Проведённые высоты пересекаются внутри \(\triangle ABC\).

3. Начерти \(\triangle MNP\) так, чтобы угол \(M\) был тупым, то есть больше \(90^\circ\).

4. Проведи высоты:

   • из \(M\) — перпендикуляр к \(NP\); основание попадёт на сторону \(NP\);
   • из \(N\) — перпендикуляр к прямой \(MP\); сторону \(MP\) нужно продлить за точку \(M\);
   • из \(P\) — перпендикуляр к прямой \(MN\); сторону \(MN\) тоже продли за точку \(M\).

   Две последние высоты окажутся вне треугольника. Прямые, содержащие все три высоты, пересекутся в одной точке вне \(\triangle MNP\).

Как пользоваться чертёжным угольником: приложи одну сторону прямого угла к прямой, содержащей противоположную сторону, а вторую сторону направь через нужную вершину. По этой стороне проведи перпендикуляр.

Проверка: в \(\triangle ABC\) основания всех высот должны находиться на сторонах; в \(\triangle MNP\) ровно две высоты должны выходить на продолжения сторон.