Решить номер 490

Краткий ответ

Главный принцип

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, и биссектрисой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника с катетами \(h\) и \(\frac{a}{2}\) и гипотенузой \(l\) (боковой стороной). Отсюда:

\[l=\sqrt{\left(\tfrac{a}{2}\right)^2+h^2},\qquad S=\tfrac{1}{2}ah\]

Это и есть «ключ» ко всем трём пунктам.

а) Основание \(12\) см, высота \(8\) см

Половина основания \(\frac{12}{2}=6\) см, значит:

\[l=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\ \text{см}\]

\[S=\tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48\ \text{см}^2\]

б) Основание \(18\) см, угол против основания \(120^\circ\)

Угол при вершине \(120^\circ\), высота делит его пополам — по \(60^\circ\). Половина основания \(9\) см лежит против угла \(60^\circ\):

\[\sin 60^\circ=\frac{9}{l}\ \Rightarrow\ l=\frac{9}{\sqrt{3}/2}=\frac{18}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}\ \text{см}\]

\[h=\frac{9}{\operatorname{tg}60^\circ}=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\ \text{см}\]

\[S=\tfrac{1}{2}\cdot 18\cdot 3\sqrt{3}=27\sqrt{3}\ \text{см}^2\]

Углы при основании здесь \(\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ\) — полезно проверить: \(l\sin 30^\circ=6\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=3\sqrt{3}=h\). Сходится.

в) Прямоугольный равнобедренный, высота к гипотенузе \(7\) см

Здесь работает ещё одно свойство: медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. А высота к основанию — она же медиана, поэтому

\[h=\frac{c}{2}\ \Rightarrow\ c=2h=14\ \text{см}\]

Катеты равны, значит \(c^2=2l^2\):

\[l=\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{14}{\sqrt{2}}=7\sqrt{2}\ \text{см} \]

\[S=\tfrac{1}{2}l^2=\tfrac{1}{2}\cdot 98=49\ \text{см}^2\]

Проверка другим способом: \(S=\frac{1}{2}c\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 7=49\). Совпадает.

Проверка общего результата

Для пункта б: \(S=\frac{1}{2}l^2\sin 120^\circ=\frac{1}{2}\cdot 108\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=27\sqrt{3}\) — совпало с ответом через основание и высоту. Значит, формулы применены верно.