3. Третий признак (по трём сторонам). Задача 16. Треугольники ABC и A1B1C1 равны по трём сторонам; M и M1 — середины сторон BC и B1C1. Докажите, что медианы AM и A1M1 равны.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Третий признак (по трём сторонам)
Задача 16. Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны по трём сторонам; \(M\) и \(M_1\) — середины сторон \(BC\) и \(B_1C_1\). Докажите, что медианы \(AM\) и \(A_1M_1\) равны.
Задача 17. Точки \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от прямой \(AC\); \(AB = CB\), \(AD = CD\). а) Докажите, что \(\triangle ABD = \triangle CBD\). б) Докажите, что луч \(BD\) — биссектриса угла \(ABC\) и угла \(ADC\).
Задача 18. В четырёхугольнике \(ABCD\): \(AB = AD\), \(CB = CD\). Докажите, что диагональ \(AC\) — биссектриса угла \(A\) и угла \(C\).
На фото три задачи — 16, 17 и 18. Ниже решения всех трёх.
Общая идея: третий признак равенства треугольников (по трём сторонам) даёт равенство треугольников, а из него уже следуют равенства нужных сторон или углов.
Задача 16
Кратко: \(AM=A_1M_1\).
Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны по трём сторонам, значит: \[ AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]
\(M\) и \(M_1\) — середины равных сторон \(BC\) и \(B_1C_1\), поэтому: \[ BM=B_1M_1. \]
Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(A_1B_1M_1\): \[ AB=A_1B_1,\qquad BM=B_1M_1, \] а углы между этими сторонами равны: \[ \angle ABM=\angle A_1B_1M_1. \] Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, соответственные стороны равны: \[ AM=A_1M_1. \]
Задача 17
а) В треугольниках \(ABD\) и \(CBD\):
\[ AB=CB,\qquad AD=CD,\qquad BD\ \text{— общая сторона}. \]
По третьему признаку равенства треугольников:
\[ \triangle ABD=\triangle CBD. \]
б) Из равенства треугольников следуют равенства соответственных углов:
\[ \angle ABD=\angle CBD, \] поэтому луч \(BD\) делит угол \(ABC\) пополам.
Также:
\[ \angle ADB=\angle CDB, \] поэтому луч \(DB\) делит угол \(ADC\) пополам. В условии для этого угла его назвали \(BD\).
Значит, \(BD\) — биссектриса углов \(ABC\) и \(ADC\).
Задача 18
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\):
\[ AB=AD,\qquad CB=CD,\qquad AC\ \text{— общая сторона}. \]
По третьему признаку:
\[ \triangle ABC=\triangle ADC. \]
Из равенства треугольников получаем:
\[ \angle BAC=\angle DAC, \] то есть \(AC\) делит угол \(A\) пополам.
И:
\[ \angle BCA=\angle DCA, \] то есть \(AC\) делит угол \(C\) пополам.
Следовательно, диагональ \(AC\) — биссектриса углов \(A\) и \(C\).
Что запомнить: сначала находим три пары равных сторон, включая общую сторону; после равенства треугольников выписываем соответственные равные углы. В задачах с медианами дополнительно используем то, что середины равных сторон дают равные половины.
Обсуждение
2 сообщенияНапиши дано доказать и доказательство и начерти треугольник
Ниже — оформление всех трёх задач. Чертёжи схематические; для задач 17 и 18 это четырёхугольники с диагоналями.
Задача 16
Чертёж:
A A1
/|\ /|\
/ | \ / | \
/ | \ / | \
B---M---C B1--M1--C1
На чертеже \(BM=MC\), \(B_1M_1=M_1C_1\); \(AM\) и \(A_1M_1\) — медианы.
Дано:
\(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\) — треугольники равны по трём сторонам;
\(M\) — середина \(BC\), \(M_1\) — середина \(B_1C_1\).
Доказать:
\(AM=A_1M_1\).
Доказательство:
Из равенства треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) следует равенство соответствующих сторон и углов: \[ AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1. \]
Так как \(M\) и \(M_1\) — середины равных сторон \(BC\) и \(B_1C_1\), то \[ BM=\frac12 BC,\qquad B_1M_1=\frac12 B_1C_1. \] Поэтому \[ BM=B_1M_1. \]
Рассмотрим \(\triangle ABM\) и \(\triangle A_1B_1M_1\). У них: \[ AB=A_1B_1,\qquad BM=B_1M_1, \] а углы между этими сторонами равны: \[ \angle ABM=\angle A_1B_1M_1, \] так как \(M\) лежит на \(BC\), а \(M_1\) — на \(B_1C_1\).
По двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ABM=\triangle A_1B_1M_1. \] Следовательно, соответствующие стороны равны: \[ AM=A_1M_1. \]
Задача 17
Чертёж:
B
/|\
/ | \
/ | \
A---O---C
\ | /
\ | /
\|/
D
\(O\) — точка пересечения \(AC\) и \(BD\).
На чертеже \(AB=CB\), \(AD=CD\); точки \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от прямой \(AC\).
Дано:
Точки \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от прямой \(AC\);
\(AB=CB\), \(AD=CD\).
Доказать:
а) \(\triangle ABD=\triangle CBD\);
б) луч \(BD\) — биссектриса углов \(ABC\) и \(ADC\).
Доказательство:
а) В треугольниках \(ABD\) и \(CBD\): \[ AB=CB,\qquad AD=CD,\qquad BD\ \text{— общая сторона}. \] По третьему признаку равенства треугольников, по трём сторонам: \[ \triangle ABD=\triangle CBD. \]
б) В равных треугольниках соответствующие углы равны. При соответствии \(A\leftrightarrow C\), \(B\leftrightarrow B\), \(D\leftrightarrow D\): \[ \angle ABD=\angle CBD,\qquad \angle ADB=\angle CDB. \]
Первое равенство означает, что луч \(BD\) делит угол \(ABC\) пополам.
Второе — что луч \(DB\) делит угол \(ADC\) пополам (для угла с вершиной \(D\) биссектрисой является луч \(DB\), то есть та же прямая \(BD\)).
Следовательно, \(BD\) — биссектриса углов \(ABC\) и \(ADC\).
Задача 18
Чертёж:
A
/|\
/ | \
/ | \
B---O---D
\ | /
\ | /
\|/
C
\(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\).
На чертеже \(AB=AD\), \(CB=CD\).
Дано:
Четырёхугольник \(ABCD\);
\(AB=AD\), \(CB=CD\).
Доказать:
Диагональ \(AC\) — биссектриса углов \(A\) и \(C\).
Доказательство:
Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\): \[ AB=AD,\qquad CB=CD,\qquad AC\ \text{— общая сторона}. \] По третьему признаку равенства треугольников, по трём сторонам: \[ \triangle ABC=\triangle ADC. \]
В равных треугольниках соответствующие углы равны. При соответствии \(A\leftrightarrow A\), \(B\leftrightarrow D\), \(C\leftrightarrow C\): \[ \angle BAC=\angle DAC,\qquad \angle BCA=\angle DCA. \]
Первое равенство означает, что \(AC\) делит угол \(BAD\) пополам, то есть является биссектрисой угла \(A\).
Второе равенство означает, что \(AC\) делит угол \(BCD\) пополам, то есть является биссектрисой угла \(C\).
Следовательно, диагональ \(AC\) — биссектриса углов \(A\) и \(C\).
