На клетчатой бумаге отмечены несколько точек. Какие треугольники из перечисленных являются равнобедренными?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Свойства равнобедренного треугольника
ЗАДАНИЕ №1
На клетчатой бумаге отмечены несколько точек.
[Рисунок: клетчатая сетка; A — в узле; B — на 2 клетки правее A; C — на 1 клетку правее A и на 3 клетки выше A; E — на 1 клетку выше B; D — на 3 клетки правее E, на одной горизонтали с E.]
Какие треугольники из перечисленных являются равнобедренными?
☑ ΔABC
☑ ΔACE
☑ ΔCBD
☐ ΔABE
☐ ΔBDE

Answer

Краткий ответ: равнобедренные треугольники — $\triangle ABC$, $\triangle ACE$, $\triangle CBD$. На скриншоте отмечены именно эти три варианта.

Как это понять

Примем сторону клетки за $1$. По сетке можно взять координаты:

$$
A(0;0),\quad B(2;0),\quad C(1;3),\quad E(2;1),\quad D(5;1).
$$

Если точки отличаются по горизонтали на $m$ клеток, а по вертикали на $n$ клеток, то квадрат длины отрезка равен

$$
d^2=m^2+n^2.
$$

Сравнивать можно именно квадраты длин: если $d_1^2=d_2^2$, то и $d_1=d_2$.

1. $\triangle ABC$:
$$
AB^2=4,\qquad AC^2=1^2+3^2=10,\qquad BC^2=1^2+3^2=10.
$$
Значит, $AC=BC$, треугольник равнобедренный.

2. $\triangle ACE$:
$$
AC^2=10,\qquad AE^2=2^2+1^2=5,\qquad CE^2=1^2+2^2=5.
$$
Значит, $AE=CE$, треугольник равнобедренный.

3. $\triangle CBD$:
$$
CB^2=10,\qquad BD^2=3^2+1^2=10,\qquad CD^2=4^2+2^2=20.
$$
Значит, $CB=BD$, треугольник равнобедренный.

4. $\triangle ABE$:
$$
AB^2=4,\qquad AE^2=5,\qquad BE^2=1.
$$
Все стороны разные — не равнобедренный.

5. $\triangle BDE$:
$$
BD^2=10,\qquad BE^2=1,\qquad DE^2=9.
$$
Все стороны разные — не равнобедренный.

Проверка: у первых трёх треугольников действительно есть по паре равных сторон, у двух последних такой пары нет.