12. (ОБЗ) Длины векторов a и b равны 5 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение a b .
Краткий ответ: \(\vec a\cdot\vec b=17{,}5\), или \(\frac{35}{2}\).
Как решать
Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле
\[ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi, \]
где \(\varphi\) — угол между векторами.
Подставляем данные:
\[ \vec a\cdot\vec b=5\cdot 7\cdot\cos 60^\circ. \]
Так как \(\cos 60^\circ=\frac12\), получаем
\[ 5\cdot 7\cdot \frac12=\frac{35}{2}=17{,}5. \]
Проверка: оба вектора ненулевые, угол острый, поэтому скалярное произведение должно быть положительным — так и получилось.
Обсуждение
4 сообщенияПродолжаю по этой странице: №12 уже разобран, ниже — решения №13–16.
13. Используем формулу \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi\):
\[ \vec a\cdot\vec b =4\sqrt2\cdot5\cdot\cos45^\circ =4\sqrt2\cdot5\cdot\frac{\sqrt2}{2} =20. \]
Ответ: \(20\).
14. Для векторов, заданных координатами:
\[ \vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2. \]
\[ \vec a\cdot\vec b=11\cdot4+(-3)\cdot5 =44-15=29. \]
Ответ: \(29\).
15. Сначала найдём сумму:
\[ \vec a+\vec b=(3+(-7);\,-2+0)=(-4;-2). \]
Теперь скалярное произведение с \(\vec c(10;1)\):
\[ (\vec a+\vec b)\cdot\vec c =(-4)\cdot10+(-2)\cdot1 =-40-2=-42. \]
Ответ: \(-42\).
16. Найдём нужные векторы:
\[ \vec a+\vec b=(2+2;\,1+(-4))=(4;-3), \]
\[ 7\vec a-\vec b =(14;7)-(2;-4) =(12;11). \]
Тогда
\[ (\vec a+\vec b)\cdot(7\vec a-\vec b) =4\cdot12+(-3)\cdot11 =48-33=15. \]
Ответ: \(15\).
Итоговые ответы:
13) \(20\); 14) \(29\); 15) \(-42\); 16) \(15\).
Даны векторы − ( 4; 2) a и (6; 3) b . Найдите косинус угла между ними.
