Дискриминант

Кратко: для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne 0\)) дискриминант — это \[D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.\]

Знак \(D\) сразу говорит, сколько корней:

• \(D>0\) — два разных действительных корня;
• \(D=0\) — один корень (он же двойной): \(x=-\frac{b}{2a}\);
• \(D<0\) — действительных корней нет.

Откуда берётся формула

Разделим уравнение на \(a\) и выделим полный квадрат: \[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\;\Longrightarrow\;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}.\] Слева квадрат, а он не бывает отрицательным. Знаменатель \(4a^2>0\), поэтому знак правой части определяет именно \(b^2-4ac\), то есть \(D\). Дальше извлекаем корень и переносим \(\frac{b}{2a}\) вправо — получаем формулу корней.

Пример с проверкой

\[2x^2-3x-5=0\] \[D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49,\qquad \sqrt{D}=7\] \[x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{4}\;\Rightarrow\;x_{1}=2{,}5,\quad x_{2}=-1\]

Проверка по теореме Виета: \(x_{1}+x_{2}=1{,}5=-\frac{b}{a}\) ✓, \(x_{1}x_{2}=-2{,}5=\frac{c}{a}\) ✓.

Полезно запомнить: если \(b\) чётное, удобнее считать \(D/4=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac\) — числа меньше, а вывод о корнях тот же.