Кратко, по порядку номеров.

Блок 1: 1) \(70^\circ\); 2) \(120^\circ\); 3) \(35^\circ\); 4) \(24^\circ\); 5) \(12^\circ\); 6) \(38^\circ\); 7) \(52^\circ\); 8) \(15^\circ\); 9) \(60^\circ\); 10) \(5\); 11) \(108^\circ\).

Блок 2: 1) \(40\); 2) \(108^\circ\); 3) \(24\) см; 4) \(4\); 5) \(36^\circ\).

Я понял задачу так: на фото два блока заданий. Ниже разбираю оба. Готовую картинку в текстовом чате не отрисовать, поэтому к каждой задаче даю точную схему рисунка — её можно быстро повторить на черновике.

Главные правила для всех задач

1. Радиусы одной окружности равны, поэтому треугольники с двумя радиусами равнобедренные.
2. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
3. Угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).
4. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
5. Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая: \[ AK^2=AB\cdot AC. \]
6. Перпендикуляр из центра на хорду делит хорду пополам. Дальше работает теорема Пифагора.

---

Блок 1. Задачи 1–11

1. Даны диаметры \(AD\) и \(BC\), \(\angle OAB=70^\circ\)

Рисунок: окружность с центром \(O\); \(AD\) и \(BC\) — диаметры; проведи \(AB\) и \(CD\).

Так как \(OA=OB\), треугольник \(AOB\) равнобедренный: \[ \angle OBA=70^\circ, \] \[ \angle AOB=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ. \]

Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные, значит: \[ \angle COD=40^\circ. \]

В треугольнике \(COD\): \(OC=OD\), поэтому \[ \angle OCD=\angle ODC=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ. \]

Ответ: \(70^\circ\).

---

2. Хорда \(AB\), \(\angle OAB=30^\circ\). Найти \(\angle AOB\)

Рисунок: окружность с центром \(O\), хорда \(AB\), радиусы \(OA\) и \(OB\).

\(OA=OB\), значит треугольник \(AOB\) равнобедренный: \[ \angle OAB=\angle OBA=30^\circ. \] Тогда \[ \angle AOB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ. \]

Ответ: \(120^\circ\).

---

3. Диаметры \(AC\) и \(BD\), \(\angle AOD=110^\circ\). Найти \(\angle ACB\)

Рисунок: окружность, диаметры \(AC\) и \(BD\); отметь угол \(AOD=110^\circ\); проведи \(AB\).

Так как \(BD\) — диаметр, лучи \(OB\) и \(OD\) противоположны: \[ \angle AOB=180^\circ-110^\circ=70^\circ. \]

Угол \(ACB\) — вписанный и опирается на ту же дугу \(AB\), что и центральный угол \(AOB\). Поэтому: \[ \angle ACB=\frac{70^\circ}{2}=35^\circ. \]

Ответ: \(35^\circ\).

---

4. \(\triangle ABC\) вписан в окружность, \(\angle AOB=48^\circ\). Найти \(\angle ACB\)

Рисунок: окружность с центром \(O\), вписанный треугольник \(ABC\), проведи \(OA\) и \(OB\).

\(\angle AOB\) — центральный, \(\angle ACB\) — вписанный, оба опираются на дугу \(AB\). Значит: \[ \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{48^\circ}{2}=24^\circ. \]

Ответ: \(24^\circ\).

---

5. \(\angle ABC=62^\circ\), \(\angle OAB=50^\circ\). Найти \(\angle BCO\)

Рисунок: окружность с центром \(O\), точки \(A,B,C\); проведи \(OA,OB,OC\) и \(BC\).

В треугольнике \(AOB\): \[ OA=OB, \] поэтому \[ \angle OBA=\angle OAB=50^\circ. \]

По рисунку луч \(BO\) проходит внутри угла \(ABC\), значит: \[ \angle OBC=62^\circ-50^\circ=12^\circ. \]

В треугольнике \(BOC\): \[ OB=OC, \] поэтому углы при основании равны: \[ \angle BCO=\angle OBC=12^\circ. \]

Ответ: \(12^\circ\).

---

6. Диаметры \(AD\) и \(BC\), \(\angle OAB=38^\circ\). Найти \(\angle OCD\)

Рисунок: такой же, как в задаче 1, только угол при \(A\) равен \(38^\circ\).

Треугольник \(AOB\) равнобедренный: \[ \angle OBA=38^\circ, \] \[ \angle AOB=180^\circ-38^\circ-38^\circ=104^\circ. \]

Вертикальный угол: \[ \angle COD=104^\circ. \]

Треугольник \(COD\) равнобедренный: \[ \angle OCD=\frac{180^\circ-104^\circ}{2}=38^\circ. \]

Ответ: \(38^\circ\).

---

7. \(AB\) — диаметр, \(M\) и \(N\) по разные стороны, \(\angle NBA=38^\circ\). Найти \(\angle NMB\)

Рисунок: окружность, диаметр \(AB\); точка \(N\) на одной полуокружности, \(M\) — на другой; проведи \(AN,BN,MN,MB\).

Так как \(AB\) — диаметр, угол \(ANB\) прямой: \[ \angle ANB=90^\circ. \]

В треугольнике \(ABN\): \[ \angle NAB=180^\circ-90^\circ-38^\circ=52^\circ. \]

Углы \(NMB\) и \(NAB\) опираются на одну и ту же хорду \(NB\), поэтому равны: \[ \angle NMB=52^\circ. \]

Ответ: \(52^\circ\).

---

8. Сторона \(AC\) содержит центр описанной окружности, \(\angle A=75^\circ\). Найти \(\angle C\)

Рисунок: треугольник \(ABC\), вписанный в окружность; \(AC\) проходит через центр \(O\), то есть \(AC\) — диаметр.

Если сторона \(AC\) проходит через центр описанной окружности, то \(AC\) — диаметр. Тогда угол \(ABC\), опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\): \[ \angle ABC=90^\circ. \]

Сумма углов треугольника: \[ \angle C=180^\circ-90^\circ-75^\circ=15^\circ. \]

Ответ: \(15^\circ\).

---

9. Центр описанной окружности лежит на \(AB\), \(\angle BAC=30^\circ\). Найти \(\angle ABC\)

Рисунок: треугольник \(ABC\), центр \(O\) на стороне \(AB\); значит \(AB\) — диаметр.

Центр лежит на стороне \(AB\), значит \(AB\) — диаметр. Поэтому \[ \angle ACB=90^\circ. \]

Тогда: \[ \angle ABC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]

Ответ: \(60^\circ\).

---

10. Центр на \(AB\), радиус \(6{,}5\), \(BC=12\). Найти \(AC\)

Рисунок: прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AB\), центр окружности \(O\) на \(AB\).

Центр описанной окружности лежит на \(AB\), значит \(AB\) — диаметр: \[ AB=2R=2\cdot 6{,}5=13. \]

Угол \(ACB\) опирается на диаметр: \[ \angle ACB=90^\circ. \]

По теореме Пифагора: \[ AC=\sqrt{AB^2-BC^2} =\sqrt{13^2-12^2} =\sqrt{169-144} =5. \]

Ответ: \(5\).

---

11. Диаметры \(AC\) и \(BD\), \(\angle ACB=36^\circ\). Найти \(\angle AOD\)

Рисунок: окружность, диаметры \(AC\) и \(BD\); проведи \(AB\) и \(CB\).

\(\angle ACB=36^\circ\) — вписанный, он опирается на дугу \(AB\). Центральный угол \(AOB\) в два раза больше: \[ \angle AOB=2\cdot36^\circ=72^\circ. \]

Так как \(BD\) — диаметр, лучи \(OB\) и \(OD\) противоположны: \[ \angle AOD=180^\circ-72^\circ=108^\circ. \]

Ответ: \(108^\circ\).

---

Блок 2. Задачи 1–5

1. \(AC=75\), \(BC=10\), окружность с центром \(A\) через \(C\). Найти касательную из \(B\)

Рисунок: на прямой отметь \(A-C-B\), причём \(AC=75\), \(BC=10\). Проведи окружность с центром \(A\) радиусом \(75\). Из \(B\) проведи касательную \(BT\), где \(T\) — точка касания.

Так как \(C\) лежит на отрезке \(AB\): \[ AB=AC+BC=75+10=85. \]

Радиус окружности: \[ AT=AC=75. \]

Касательная перпендикулярна радиусу: \[ BT\perp AT. \]

Тогда в прямоугольном треугольнике \(ABT\): \[ BT=\sqrt{AB^2-AT^2} =\sqrt{85^2-75^2} =\sqrt{(85-75)(85+75)} =\sqrt{10\cdot160} =\sqrt{1600}=40. \]

Ответ: \(40\).

---

2. Две касательные пересекаются под углом \(72^\circ\). Найти \(\angle AOB\)

Рисунок: окружность с центром \(O\), касательные в точках \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(P\); \(\angle APB=72^\circ\).

Радиусы в точки касания перпендикулярны касательным: \[ OA\perp PA,\qquad OB\perp PB. \]

В четырёхугольнике \(OAPB\): \[ \angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-72^\circ=108^\circ. \]

Можно запомнить короче: \[ \angle AOB=180^\circ-\angle APB. \]

Ответ: \(108^\circ\).

---

3. Радиус \(13\) см, расстояние от центра до хорды \(5\) см. Найти хорду

Рисунок: окружность с центром \(O\), хорда \(AB\), \(OH\perp AB\), \(OH=5\), \(OA=13\).

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Значит, если \(H\) — основание перпендикуляра, то \(H\) — середина \(AB\).

В прямоугольном треугольнике \(OAH\): \[ AH=\sqrt{OA^2-OH^2} =\sqrt{13^2-5^2} =\sqrt{169-25} =\sqrt{144}=12. \]

Вся хорда: \[ AB=2AH=2\cdot12=24\text{ см}. \]

Ответ: \(24\) см.

---

4. Секущая \(AB=2\), \(AC=8\), касательная \(AK\). Найти \(AK\)

Рисунок: точка \(A\) вне окружности; касательная \(AK\); секущая проходит через \(B\), затем через \(C\), причём \(AB=2\), \(AC=8\).

По теореме о касательной и секущей: \[ AK^2=AB\cdot AC. \]

Подставляем: \[ AK^2=2\cdot8=16, \] \[ AK=4. \]

Ответ: \(4\).

---

5. Меньшая дуга \(AB=72^\circ\), \(BC\) — касательная. Найти острый \(\angle ABC\)

Рисунок: окружность, точки \(A\) и \(B\); в точке \(B\) проведи касательную \(BC\). Угол \(ABC\) — между хордой \(BA\) и касательной \(BC\).

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними: \[ \angle ABC=\frac{1}{2}\cdot72^\circ=36^\circ. \]

Так как сказано, что угол \(ABC\) острый, берём именно половину меньшей дуги, а не дополнительный угол.

Ответ: \(36^\circ\).

---

Итоговая таблица для проверки

Блок 1	Ответ
1	\(70^\circ\)
2	\(120^\circ\)
3	\(35^\circ\)
4	\(24^\circ\)
5	\(12^\circ\)
6	\(38^\circ\)
7	\(52^\circ\)
8	\(15^\circ\)
9	\(60^\circ\)
10	\(5\)
11	\(108^\circ\)

Блок 2	Ответ
1	\(40\)
2	\(108^\circ\)
3	\(24\) см
4	\(4\)
5	\(36^\circ\)