Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Как это получается

Способ 1. Через дискриминант. Для уравнения \(ax^2+bx+c=0\) здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Дискриминант положительный, значит корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. По теореме Виета (он быстрее, когда \(a=1\)). Сумма корней равна \(-b=5\), произведение равно \(c=6\). Подбираем два числа: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\). Это и есть корни.

Способ 3. Разложение на множители.

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\), то есть \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип на будущее: сначала считаешь дискриминант — он говорит, сколько корней (\(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет действительных корней), а потом подставляешь в формулу корней. Если \(a=1\) и корни целые, Виет экономит время.