Даны векторы − ( 4; 2) a и (6; 3) b . Найдите косинус угла между ними.

По записи \(\vec a=(-4;\,2)\), \(\vec b=(6;\,3)\).

Ответ:
\[ \cos\varphi=-\frac{3}{5}=-0{,}6 \]

Ключевые шаги:

1. Формула косинуса угла между векторами: \[ \cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|} \]

2. Скалярное произведение: \[ \vec a\cdot\vec b=(-4)\cdot 6+2\cdot 3=-24+6=-18 \]

3. Длины векторов: \[ |\vec a|=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5 \] \[ |\vec b|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5 \]

4. Подставляем: \[ \cos\varphi=\frac{-18}{2\sqrt5\cdot 3\sqrt5} =\frac{-18}{30}=-\frac35 \]

Проверка: косинус отрицательный, значит угол тупой. Это соответствует отрицательному скалярному произведению \(-18\).

Вывод: \(\cos\varphi=-0{,}6\), то есть примерно \(126{,}9^\circ\).