Как определить коллинеарные векторы, например вектор а{3; 7}, и вектор в{-2; 1} будут коллинеарны или нет
Кратко: векторы \(\vec a=\{3;7\}\) и \(\vec b=\{-2;1\}\) не коллинеарны.
Как проверять коллинеарность
Для векторов
\[
\vec a=(a_x;a_y),\qquad \vec b=(b_x;b_y)
\]
есть удобное условие:
\[ a_x b_y-a_y b_x=0. \]
Если это равенство выполняется, векторы коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
Можно проверить и так: координаты должны быть пропорциональны:
\[ \frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}, \]
если \(b_x\neq0\), \(b_y\neq0\).
Или должен существовать такой множитель \(k\), что
\[ \vec a=k\vec b. \]
Проверяем твой пример
\[ \vec a=(3;7),\qquad \vec b=(-2;1). \]
Считаем определитель:
\[ 3\cdot1-7\cdot(-2)=3+14=17. \]
\[ 17\neq0, \]
значит, векторы не коллинеарны.
Через пропорцию:
\[ \frac{3}{-2}=-\frac32,\qquad \frac{7}{1}=7. \]
Получаются разные числа, поэтому координаты не пропорциональны.
Можно ещё попробовать найти \(k\):
\[ (3;7)=k(-2;1). \]
Из первой координаты:
\[ 3=-2k \quad\Rightarrow\quad k=-\frac32. \]
Из второй:
\[ 7=k. \]
Получились разные \(k\), значит, одного общего множителя нет.
Ответ: векторы \(\vec a=\{3;7\}\) и \(\vec b=\{-2;1\}\) не коллинеарны.
Обсуждение
5 сообщенийЗначок неколлинеарности векторов
Отдельного особого значка именно для неколлинеарности векторов обычно не используют. Пишут перечёркнутый знак параллельности:
\[ \vec a \nparallel \vec b \]
Это читается так: «вектор \(\vec a\) не коллинеарен вектору \(\vec b\)».
Для твоего примера:
\[ \vec a=\{3;7\}\nparallel \vec b=\{-2;1\}. \]
Иногда встречается запись \(\vec a \not\parallel \vec b\) — смысл тот же.
А значок коллинеарного вектора
Для коллинеарных векторов используют знак параллельности:
\[ \vec a \parallel \vec b \]
Читается: «вектор \(\vec a\) коллинеарен вектору \(\vec b\)».
То есть знак коллинеарности — это обычный знак \(\parallel\), а неколлинеарности — он же перечёркнутый: \(\nparallel\).
Полезное дополнение
Иногда уточняют направление:
- \(\vec a \uparrow\uparrow \vec b\) — векторы коллинеарны и сонаправлены, то есть \(\vec a=k\vec b\), где \(k>0\);
- \(\vec a \uparrow\downarrow \vec b\) — векторы коллинеарны и противоположно направлены, то есть \(\vec a=k\vec b\), где \(k<0\).
В общем виде, без уточнения направления, пишут просто:
\[ \vec a \parallel \vec b \]
Пример: если \(\vec a=(2;4)\) и \(\vec b=(1;2)\), то \(\vec a=2\vec b\), поэтому
\[ \vec a \parallel \vec b \]
(и даже \(\vec a\uparrow\uparrow\vec b\), так как \(k=2>0\)).
Реши номер 959 и объясни
