542(2)

Равенство верно. Левая часть действительно равна \(1\).

Задано: \[ \sqrt{2-\sqrt{5+\sqrt{3}-\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt3}}}}=1. \]

Упрощаем вложенные корни, двигаясь с самого внутреннего:

1. Замечаем полный квадрат: \[ 4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2, \] поэтому \[ \sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt3-1 \] (здесь \(\sqrt3-1>0\)).

2. Подставляем это в следующий корень: \[ 27+8\sqrt{4-2\sqrt3} =27+8(\sqrt3-1) =19+8\sqrt3. \] Теперь \[ 19+8\sqrt3=(4+\sqrt3)^2, \] так как \[ (4+\sqrt3)^2=16+8\sqrt3+3=19+8\sqrt3. \] Значит, \[ \sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt3}}=4+\sqrt3. \]

3. Тогда внутри среднего корня: \[ 5+\sqrt3-\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt3}} =5+\sqrt3-(4+\sqrt3)=1. \] Следовательно, \[ \sqrt{5+\sqrt3-\sqrt{27+8\sqrt{4-2\sqrt3}}}=\sqrt1=1. \]

4. Остаётся внешний корень: \[ \sqrt{2-\sqrt1}=\sqrt{2-1}=\sqrt1=1. \]

Ответ: равенство верно.

Принцип похожих заданий: под корнем ищут «полный квадрат» вида \[ (\sqrt m\pm\sqrt n)^2=m+n\pm2\sqrt{mn}. \] Например, \(4-2\sqrt3\) представляют как \((\sqrt3-1)^2\), а \(19+8\sqrt3\) — как \((4+\sqrt3)^2\).