Биссектриса BH треугольника ABC совпадает с его высотой. Сделайте чертёж и докажите, что ∠BAC = ∠BCA.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
72

Биссектриса $BH$ треугольника $ABC$ совпадает с его высотой. Сделайте чертёж и докажите, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Доказательство.

1. По условию $BH$ — биссектриса треугольника $ABC$, т. е. $\angle ABH = \underline{\phantom{000}}$ ; $BH$ — высота треугольника $ABC$, т. е. $\angle AHB = \angle \underline{\phantom{000}} = 90^\circ$.

2. $\triangle ABH \underline{\phantom{000}} \triangle CBH$ по стороне и
$\underline{\phantom{0000000000000000}}$
$\underline{\phantom{000000}}$ (BH — общая сторона,
$\angle ABH = \angle \underline{\phantom{000}}$, $\angle AHB = \angle \underline{\phantom{000}}$ ).
Отсюда следует, что $\angle BAH = \angle \underline{\phantom{000}}$, т. е. $\angle BAC = \angle \underline{\phantom{000}}$

Answer

Краткий ответ — заполненные пропуски:

1. $\angle ABH=\angle CBH$; $\angle AHB=\angle CHB=90^\circ$.

2. $\triangle ABH=\triangle CBH$ по стороне и двум прилежащим углам:
$BH$ — общая сторона, $\angle ABH=\angle CBH$, $\angle AHB=\angle CHB$.

Отсюда следует, что $\angle BAH=\angle BCH$, то есть $\angle BAC=\angle BCA$.

Почему это так

$BH$ — биссектриса, значит, она делит угол $B$ пополам:
$$
\angle ABH=\angle CBH.
$$

$BH$ — высота, значит, $BH\perp AC$, поэтому
$$
\angle AHB=\angle CHB=90^\circ.
$$

У треугольников $ABH$ и $CBH$:

$BH$ — общая сторона;

равны два угла, прилежащие к этой стороне.

Поэтому треугольники равны по второму признаку: по стороне и двум прилежащим углам.

В равных треугольниках против общей стороны $BH$ лежат равные углы:
$$
\angle BAH=\angle BCH.
$$
Но точки $A,H,C$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle BAH$ — это $\angle BAC$, а $\angle BCH$ — это $\angle BCA$. Следовательно,
$$
\angle BAC=\angle BCA.
$$

Чертёж: вершина $B$, основание $AC$, точка $H$ на $AC$; $BH$ перпендикулярна $AC$ и делит угол $B$ пополам.