Реши номер 959 и объясни
Кратко:
а) центр \((0;0)\), радиус \(3\);
б) центр \((1;-2)\), радиус \(2\);
в) центр \((-5;3)\), радиус \(5\);
г) центр \((1;0)\), радиус \(2\);
д) центр \((0;-2)\), радиус \(\sqrt2\approx1{,}41\).
Как рассуждать.
Уравнение окружности имеет вид
\[
(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,
\]
где \((a;b)\) — центр, \(R\) — радиус.
Поэтому:
- координаты центра берём с противоположными знаками: \((x+5)^2\) даёт \(a=-5\), \((y+2)^2\) даёт \(b=-2\);
- радиус — это корень из правой части: если справа \(25\), то \(R=5\), а если \(2\), то \(R=\sqrt2\), а не \(2\).
| Пункт | Центр | Радиус | Удобные точки для построения |
|---|---|---|---|
| а) | \((0;0)\) | \(3\) | \((3;0)\), \((0;3)\), \((-3;0)\), \((0;-3)\) |
| б) | \((1;-2)\) | \(2\) | \((3;-2)\), \((1;0)\), \((-1;-2)\), \((1;-4)\) |
| в) | \((-5;3)\) | \(5\) | \((0;3)\), \((-5;8)\), \((-10;3)\), \((-5;-2)\) |
| г) | \((1;0)\) | \(2\) | \((3;0)\), \((1;2)\), \((-1;0)\), \((1;-2)\) |
| д) | \((0;-2)\) | \(\sqrt2\approx1{,}41\) | \((\sqrt2;-2)\), \((0;-2+\sqrt2)\), \((-\sqrt2;-2)\), \((0;-2-\sqrt2)\) |
Построение: отметь центр, отложи радиус вправо, влево, вверх и вниз, затем проведи окружность через эти четыре точки. Для пункта д радиус чуть больше \(1{,}4\), поэтому окружность будет самая маленькая.
Проверка. Например, в д) возьмём точку \((0;-2+\sqrt2)\):
\[
0^2+\bigl((-2+\sqrt2)+2\bigr)^2=(\sqrt2)^2=2.
\]
Это совпадает с правой частью уравнения, значит радиус действительно \(\sqrt2\).
Главное: не путать \(R\) и \(R^2\) и помнить, что знаки координат центра противоположны знакам в скобках.
