Объясни тему тригонометрических уравнений

Краткий ответ

Тригонометрическое уравнение почти всегда решают по одной схеме: свести его к простейшему виду \(\sin x=a\), \(\cos x=a\), \(\operatorname{tg}x=a\) или \(\operatorname{ctg}x=a\), а затем записать серию корней с целым параметром \(k\in\mathbb Z\). Важно следить за ОДЗ и не терять корни при делении и возведении в квадрат.

1. Простейшие уравнения — их надо знать наизусть

При \(|a|\le 1\):

\[ \sin x=a \quad\Longrightarrow\quad x=(-1)^k\arcsin a+\pi k \]

\[ \cos x=a \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\arccos a+2\pi k \]

При любом \(a\):

\[ \operatorname{tg}x=a \quad\Longrightarrow\quad x=\operatorname{arctg}a+\pi k \]

\[ \operatorname{ctg}x=a \quad\Longrightarrow\quad x=\operatorname{arcctg}a+\pi k \]

Частные случаи:

\[ \sin x=0 \Rightarrow x=\pi k,\qquad \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \]

\[ \sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k \]

\[ \cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k,\qquad \cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi k \]

Если \(|a|>1\), то у уравнений с синусом и косинусом корней нет.

2. Разобранный пример

Решим:

\[ 2\sin^2 x-\sin x-1=0 \]

Шаг 1. Замена. Пусть \(t=\sin x\), причём обязательно \(-1\le t\le 1\). Получаем:

\[ 2t^2-t-1=0 \]

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение.

\[ D=1+8=9,\qquad t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4} \]

\[ t_1=1,\qquad t_2=-\frac{1}{2} \]

Оба значения лежат в отрезке \([-1;1]\), значит, подходят.

Шаг 3. Возвращаемся к \(x\).

\[ \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \]

\[ \sin x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n \]

Ответ:

\[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad k,n\in\mathbb Z \]

Проверка. Подставим, например, \(x=\frac{\pi}{2}\): \(2\cdot1^2-1-1=0\) — верно. Для \(x=-\frac{\pi}{6}\): \(2\cdot\frac14+\frac12-1=0\) — тоже верно.

3. Основные методы решения

Приведение к одной функции. Используй формулы \(\sin^2x+\cos^2x=1\), формулы двойного угла и приведения, чтобы осталась одна тригонометрическая функция.

Замена переменной. Обязательно проверяй ограничение: для \(t=\sin x\) и \(t=\cos x\) нужно \(-1\le t\le1\). Для \(t=\operatorname{tg}x\) ограничений на \(t\) нет, но есть ОДЗ.

Разложение на множители. Например, \(\sin x(2\cos x-1)=0\). Нельзя делить на выражение с переменной, иначе можно потерять корни.

Однородные уравнения. Уравнение \(a\sin x+b\cos x=0\) делят на \(\cos x\neq0\). Уравнение \(a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0\) делят на \(\cos^2x\neq0\), после чего получается квадратное относительно \(\operatorname{tg}x\).

Вспомогательный угол. Для уравнения \(a\sin x+b\cos x=c\):

\[ a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi) \]

где

\[ \cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \]

Например, \(\sin x+\sqrt3\cos x=2\) сводится к \(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\), то есть \(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1\), откуда \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\).

4. Что проверять в конце

• ОДЗ: знаменатели не равны нулю, под знаком тангенса и котангенса косинус и синус не равны нулю.
• Потеря корней: нельзя сокращать на выражение, которое может обращаться в нуль.
• Лишние корни: после возведения в квадрат нужна проверка.
• Период: ответ записывают сериями с \(k\in\mathbb Z\), а не одним числом.
• Единицы: по умолчанию углы в радианах.