142 Решить уравнение: 1) x/(x+1) + 2x/(x-1) = 4x/(x²-1); 2) (x-1)/(x-2) - 2/x = 1/(x-2); 3) (x-3)(x-5) = 3(x-5); 4) (x-2)(x²+1) = 2(x²+1).

Краткий ответ:

1. \(x=0\);
2. корней нет;
3. \(x=5\), \(x=6\);
4. \(x=4\).

Общий принцип: сначала находим ОДЗ, затем избавляемся от знаменателей. Полученные значения обязательно сверяем с ОДЗ. Если есть общий множитель, лучше разложить на множители, а не сокращать — иначе можно потерять корень.

1)
\[ \frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{4x}{x^{2}-1} \] ОДЗ: \(x\ne -1,\ x\ne 1\). Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{x(x-1)+2x(x+1)}{x^{2}-1}=\frac{4x}{x^{2}-1} \] \[ 3x^{2}+x=4x \] \[ 3x^{2}-3x=0 \] \[ 3x(x-1)=0 \] Получаем \(x=0\) или \(x=1\). Но \(x=1\) не входит в ОДЗ, поэтому остаётся только \(x=0\).

2)
ОДЗ: \(x\ne 0,\ x\ne 2\). Перенесём \( \frac{1}{x-2} \) влево: \[ \frac{x-1}{x-2}-\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x} \] \[ \frac{x-2}{x-2}=\frac{2}{x} \] \[ 1=\frac{2}{x} \] \[ x=2 \] Но \(x=2\) запрещён ОДЗ, значит корней нет.

3)
Нельзя сокращать на \(x-5\), потому что при \(x=5\) этот множитель равен нулю. Переносим всё влево: \[ (x-3)(x-5)-3(x-5)=0 \] \[ (x-5)(x-3-3)=0 \] \[ (x-5)(x-6)=0 \] Отсюда \(x=5\) или \(x=6\).

4)
Так как \(x^{2}+1>0\) при любом \(x\), можно разделить обе части на \(x^{2}+1\): \[ x-2=2 \] \[ x=4 \]

Проверка: \(x=0\) подходит в первом уравнении; \(x=5\) и \(x=6\) дают верные равенства в третьем; при \(x=4\) в четвёртом обе части равны \(34\).