реши быстрее и решение напиши в стиле 8 классника

Коротко ответы:

1. \(MO=30\)
2. \(24^\circ\)
3. \(38^\circ\)
4. \(7\)
5. \(108\)
6. \(12{,}5\)
7. \(10\)
8. \(\dfrac{20}{\sqrt3}=\dfrac{20\sqrt3}{3}\approx 11{,}5\)

Почему так:

1. \(MO\) — биссектриса угла между касательными. Если \(\angle NME=60^\circ\), то \(\angle NMO=30^\circ\). В прямоугольном \(\triangle MNO\) радиус \(ON=15\) лежит против \(30^\circ\), значит гипотенуза \(MO=30\).
   Если у тебя в №1 стоит \(80^\circ\) и спрашивают \(\angle MON\), то \(\angle MON=50^\circ\).

2. \(NO\perp MK\), а \(NF\) лежит на \(NK\). Поэтому
   \[ \angle FNO=90^\circ-\angle MKN=90^\circ-66^\circ=24^\circ. \]

3. \(M\) — точка пересечения биссектрис. Угол между биссектрисами: \[ \angle AMB=90^\circ+\frac{\angle C}{2}. \] Значит: \[ 128^\circ=90^\circ+\frac{\angle C}{2},\qquad \frac{\angle C}{2}=38^\circ. \] А \(CM\) — биссектриса, поэтому \(\angle MCB_1=38^\circ\).

4. \(C\) лежит на серединном перпендикуляре к \(MN\), значит
   \[ CM=CN=10. \] Тогда: \[ CK=MK-CM=17-10=7. \]

5. \(\triangle ONF\) прямоугольный: \[ S_{ONF}=\frac12\cdot 6\cdot 12=36. \] Точка \(O\) — центроид \(\triangle MNF\), поэтому она делит его на три равные по площади треугольника: \[ S_{MNF}=3\cdot 36=108. \]

6. Медианы делятся центроидом как \(2:1\), считая от вершины: \[ RO:OK=2:1. \] \[ OK=\frac{25}{2}=12{,}5. \]

7. Пусть \(MF=FN=x\), \(EF=18\). Тогда \(K\) — середина \(EN\). Координаты:
   \(E(0;18)\), \(M(-x;0)\), \(N(x;0)\), \(K\left(\frac{x}{2};9\right)\).
   \[ MK^2=\left(\frac{3x}{2}\right)^2+9^2=15^2 \] \[ \frac{9x^2}{4}+81=225 \Rightarrow x^2=64 \Rightarrow x=8. \] Центроид \(O\) делит \(EF\) как \(2:1\), поэтому \(OF=6\). Тогда: \[ ON=\sqrt{OF^2+FN^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10. \]

8. \(O\) — центр описанной окружности, \(OA=OB=OC=R\). В равнобедренном \(\triangle AOB\): \[ AB=20,\qquad \angle AOB=120^\circ. \] Высота делит \(AB\) пополам: \(10\), и угол пополам: \(60^\circ\). Значит: \[ R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=10, \] \[ R=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}\approx 11{,}5. \]