УПРАЖНЕНИЕ 15. 1. Во сколько раз изменится сила взаимного притяжения двух шаров, если расстояние между ними уменьшить в 3 раза?

Кратко:

1. Сила увеличится в 9 раз.
2. Корабли притягиваются с силой примерно \(1{,}7\cdot10^{-7}\) Н.
3. К Земле сила убывает, к Луне возрастает. В середине пути Земля притягивает станцию примерно в 81 раз сильнее Луны.
4. Нет. Солнце и Земля притягивают друг друга с одинаковыми по модулю силами.

Разбор:

1. По закону всемирного тяготения \[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}. \] Если расстояние \(r\) уменьшить в 3 раза, то в знаменателе появится \( \left(\frac{r}{3}\right)^2=\frac{r^2}{9} \). Знаменатель уменьшится в 9 раз, поэтому сила увеличится в 9 раз.

2. Переведём массы и расстояние в СИ: \[ m=50\ \text{т}=5\cdot10^4\ \text{кг},\qquad r=1\ \text{км}=10^3\ \text{м}. \] Тогда \[ F=G\frac{m^2}{r^2} =6{,}67\cdot10^{-11}\frac{(5\cdot10^4)^2}{(10^3)^2} \approx1{,}7\cdot10^{-7}\ \text{Н}. \] Это около \(0{,}17\) мкН — очень маленькая сила, что для кораблей ожидаемо.

3. Сила притяжения станции к Земле: \[ F_З=G\frac{M_З m}{r_З^2}, \] а к Луне: \[ F_Л=G\frac{M_Л m}{r_Л^2}. \] Когда станция удаляется от Земли, \(r_З\) растёт — сила к Земле убывает. Когда она приближается к Луне, \(r_Л\) уменьшается — сила к Луне возрастает.

В середине пути \(r_З=r_Л\), поэтому \[ \frac{F_З}{F_Л}=\frac{M_З}{M_Л}\approx81. \] Значит, посередине между Землёй и Луной станция притягивается к Земле примерно в 81 раз сильнее, чем к Луне. Точка, где эти силы уравновешиваются, находится ближе к Луне.

4. По третьему закону Ньютона силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению: \[ F_{\text{Солнце}\to\text{Земля}} = F_{\text{Земля}\to\text{Солнце}} = G\frac{M_С M_З}{r^2}. \] Масса Солнца больше, но это не делает силу «односторонне» больше. Различаются ускорения: Земля получает ускорение \(a_З=F/M_З\), а Солнце — \(a_С=F/M_С\). Ускорение Земли примерно в 330 000 раз больше, но сами силы равны.