реши быстрее и напиши решение в стиле 8 классника

Question

Расшифровка фото нейросетью:
1. $\angle NMK=60^\circ$, $MO$ — ? [Рисунок: треугольник $MNK$; $MN$ и $MK$ — касательные к окружности с центром $O$; радиус $ON=10$.]

2. $\angle MKN=66^\circ$, $\angle FNO$ — ? [Рисунок: треугольник $MKN$; высоты $MF$ и $KE$ пересекаются в точке $O$; $F$ на $KN$, $E$ на $MN$; отмечены прямые углы в $F$ и $E$.]

3. $\angle MCB_1$ — ? [Рисунок: треугольник $ABC$; проведены отрезки $BB_1$ и $AA_1$, они пересекаются в точке $M$; $B_1$ на $AC$, $A_1$ на $BC$; $\angle BMC=128^\circ$.]

4. $MK=17$, $CK$ — ? [Рисунок: треугольник $MKN$; $C$ на $MK$; $CD\perp MN$, $MD=DN$; $CN=10$.]

5. $QM=6$, $BT=11$, $S_{MOT}$ — ? [Рисунок: треугольник $BQR$; $QM$ и $BT$ — медианы, пересекаются в точке $O$; $OM\perp OT$.]

6. $RO=20$, $OK$ — ? [Рисунок: треугольник $PQR$; $O$ — центр описанной окружности; $OK\perp PQ$, $ON\perp RQ$, $OM\perp RP$; $\angle OPQ=30^\circ$.]

7. $EF=18$, $MK=15$, $ON$ — ? [Рисунок: треугольник $EMN$; $EF$ и $MK$ — медианы, пересекаются в точке $O$; $EO\perp MO$.]

8. $OC$ — ? [Рисунок: треугольник $ABC$; $AB=20$; $O$ — центр описанной окружности; $\angle AOC=120^\circ$.]

Answer

Коротко ответы:

1. $20$

2. $24^\circ$

3. $38^\circ$

4. $7$

5. $\frac{11}{3}$

6. $10$

7. $2\sqrt{61}$

8. $\frac{20\sqrt3}{3}$

Решение по-простому:

1. $MO$ — биссектриса угла между касательными, поэтому $\angle NMO=30^\circ$. Радиус $ON\perp MN$. В прямоугольном $\triangle MNO$:
$$
MO=\frac{ON}{\sin30^\circ}=\frac{10}{0{,}5}=20.
$$

2. $NO$ — третья высота, значит $NO\perp MK$. Тогда
$$
\angle FNO=90^\circ-\angle MKN=90^\circ-66^\circ=24^\circ.
$$

3. $B,M,B_1$ лежат на одной прямой, поэтому
$$
\angle CMB_1=180^\circ-128^\circ=52^\circ.
$$
В прямоугольном $\triangle CMB_1$:
$$
\angle MCB_1=90^\circ-52^\circ=38^\circ.
$$

4. $CD$ — серединный перпендикуляр к $MN$, значит $C$ равноудалена от $M$ и $N$:
$$
CM=CN=10.
$$
Тогда
$$
CK=MK-MC=17-10=7.
$$

5. $O$ — точка пересечения медиан, она делит медиану как $2:1$:
$$
OM=\frac13 QM=2,\qquad OT=\frac13 BT=\frac{11}{3}.
$$
Медианы перпендикулярны, поэтому
$$
S_{MOT}=\frac12\cdot OM\cdot OT
=\frac12\cdot2\cdot\frac{11}{3}
=\frac{11}{3}.
$$
Если в задании $S_{MORT}$, то $S_{MORT}=\frac{44}{3}$.

6. $OP=OR=20$. $OK\perp PQ$, значит $\triangle OPK$ прямоугольный, а $\angle OPK=30^\circ$. Тогда
$$
OK=OP\sin30^\circ=20\cdot\frac12=10.
$$

7. $O$ делит медианы $2:1$, поэтому
$$
EO=12,\quad OM=10.
$$
Поставим $O(0;0)$, $E(12;0)$, $M(0;10)$. Тогда $F(-6;0)$. Так как $F$ — середина $MN$:
$$
N=2F-M=(-12;-10).
$$
Значит
$$
ON=\sqrt{12^2+10^2}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}.
$$

8. $\angle AOC=120^\circ$, значит $\angle ABC=60^\circ$. При $AB=BC=20$ треугольник получается равносторонним. Тогда
$$
OC=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}.
$$

реши быстрее и напиши решение в стиле 8 классника

Обсуждение