объясни задание 1039

Question

Расшифровка фото нейросетью:
1039 □ Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол между векторами: а) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$; б) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DA}$; в) $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$; г) $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OB}$; д) $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OC}$; е) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$; ж) $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DB}$; з) $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$.

Answer

Краткий ответ:
а) $45^\circ$; б) $90^\circ$; в) $90^\circ$; г) $90^\circ$; д) $180^\circ$; е) $90^\circ$; ж) $135^\circ$; з) $0^\circ$.

Как рассуждать: угол между векторами не зависит от их длины. Векторы можно параллельно переносить и совмещать их начала. Если векторы сонаправлены, угол $0^\circ$, противоположно направлены — $180^\circ$. В квадрате диагонали перпендикулярны и делят углы квадрата пополам, поэтому диагональ составляет со стороной $45^\circ$.

Пункт |
Угол |
Почему |

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ |
$45^\circ$ |
$AC$ — диагональ из $A$, делит прямой угол $A$ пополам |

б) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$ |
$90^\circ$ |
$\vec{DA}$ противоположен $\vec{AD}$, а $AB\perp AD$ |

в) $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ |
$90^\circ$ |
лежат на перпендикулярных диагоналях |

г) $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$ |
$90^\circ$ |
тоже направлены вдоль перпендикулярных диагоналей |

д) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ |
$180^\circ$ |
противоположные лучи одной диагонали |

е) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ |
$90^\circ$ |
диагонали квадрата перпендикулярны |

ж) $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$ |
$135^\circ$ |
$\angle ADB=45^\circ$, но $\vec{AD}$ противоположен $\vec{DA}$, поэтому $180^\circ-45^\circ=135^\circ$ |

з) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ |
$0^\circ$ |
оба направлены вдоль диагонали от $A$ к $C$ |

Частая ошибка — в пункте ж) брать $45^\circ$. Это угол между $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$, а у нас первый вектор направлен в противоположную сторону.

Для проверки: $\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$. Например, при стороне квадрата $1$: $\vec{AD}=(0;1)$, $\vec{DB}=(1;-1)$, поэтому $\cos\varphi=-\frac{1}{\sqrt2}$, то есть $\varphi=135^\circ$.

Пункт	Угол	Почему
а) \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)	\(45^\circ\)	\(AC\) — диагональ из \(A\), делит прямой угол \(A\) пополам
б) \(\vec{AB}\) и \(\vec{DA}\)	\(90^\circ\)	\(\vec{DA}\) противоположен \(\vec{AD}\), а \(AB\perp AD\)
в) \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\)	\(90^\circ\)	лежат на перпендикулярных диагоналях
г) \(\vec{AO}\) и \(\vec{OB}\)	\(90^\circ\)	тоже направлены вдоль перпендикулярных диагоналей
д) \(\vec{OA}\) и \(\vec{OC}\)	\(180^\circ\)	противоположные лучи одной диагонали
е) \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\)	\(90^\circ\)	диагонали квадрата перпендикулярны
ж) \(\vec{AD}\) и \(\vec{DB}\)	\(135^\circ\)	\(\angle ADB=45^\circ\), но \(\vec{AD}\) противоположен \(\vec{DA}\), поэтому \(180^\circ-45^\circ=135^\circ\)
з) \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\)	\(0^\circ\)	оба направлены вдоль диагонали от \(A\) к \(C\)