объясни задание 1039 и 1043

Question

Расшифровка фото нейросетью:
1039 □ Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между векторами: а) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$; б) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DA}$; в) $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$; г) $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OB}$; д) $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OC}$; е) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$; ж) $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DB}$; з) $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$.

1043 □ К одной и той же точке приложены две силы $\vec{P}$ и $\vec{Q}$, действующие под углом $120^\circ$ друг к другу, причём $|\vec{P}|=8$, $|\vec{Q}|=15$. Найдите величину равнодействующей силы $\vec{R}$.

Answer

Разберём оба номера.

Кратко

1039: а) $45^\circ$; б) $90^\circ$; в) $90^\circ$; г) $90^\circ$; д) $180^\circ$; е) $90^\circ$; ж) $135^\circ$; з) $0^\circ$.

1043: $R=13$.

1039. Угол между векторами

Угол между векторами — это угол между их направлениями, если отложить оба вектора от одной точки. Он может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Для квадрата полезно помнить:

соседние стороны перпендикулярны;

диагонали квадрата перпендикулярны;

диагональ образует со стороной угол $45^\circ$;

если заменить вектор противоположным, угол $\alpha$ меняется на $180^\circ-\alpha$.

На практике удобно нарисовать квадрат и мысленно перенести векторы так, чтобы их начала совпали.

Пункт |
Угол |
Объяснение |

а) $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ |
$45^\circ$ |
$AC$ — диагональ, делит угол $A$ пополам |

б) $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DA}$ |
$90^\circ$ |
$AB\perp AD$, а $\overrightarrow{DA}$ противоположен $\overrightarrow{AD}$ |

в) $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ |
$90^\circ$ |
лежат на перпендикулярных диагоналях |

г) $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{OB}$ |
$90^\circ$ |
$AO$ лежит на $AC$, $OB$ — на $BD$, а $AC\perp BD$ |

д) $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OC}$ |
$180^\circ$ |
$O$ — середина $AC$, векторы направлены в разные стороны |

е) $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BD}$ |
$90^\circ$ |
диагонали квадрата перпендикулярны |

ж) $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DB}$ |
$135^\circ$ |
$\angle ADB=45^\circ$, а $\overrightarrow{AD}$ противоположен $\overrightarrow{DA}$, поэтому $180^\circ-45^\circ=135^\circ$ |

з) $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{OC}$ |
$0^\circ$ |
оба направлены вдоль $AC$ от $A$ к $C$ |

1043. Равнодействующая сил

Силы складываются как векторы:

$$
\vec R=\vec P+\vec Q.
$$

Для длины суммы двух векторов:

$$
R^2=P^2+Q^2+2PQ\cos\varphi,
$$

где $\varphi$ — угол между векторами. Здесь $P=8$, $Q=15$, $\varphi=120^\circ$:

$$
R^2=8^2+15^2+2\cdot 8\cdot 15\cdot \cos 120^\circ
=64+225+240\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)
=64+225-120=169.
$$

$$
R=\sqrt{169}=13.
$$

Ответ: $13$.

Обрати внимание: $R\ne 8+15$, потому что силы не направлены в одну сторону. Проверка: $13$ лежит между $15-8=7$ и $15+8=23$, как и должно быть для равнодействующей.

Что запомнить

Для угла между векторами переноси начала векторов в одну точку; замена вектора противоположным даёт $180^\circ-\alpha$.

Равнодействующая — диагональ параллелограмма; её длина ищется по теореме косинусов, а не сложением модулей.

Пункт	Угол	Объяснение
а) \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\)	\(45^\circ\)	\(AC\) — диагональ, делит угол \(A\) пополам
б) \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{DA}\)	\(90^\circ\)	\(AB\perp AD\), а \(\overrightarrow{DA}\) противоположен \(\overrightarrow{AD}\)
в) \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\)	\(90^\circ\)	лежат на перпендикулярных диагоналях
г) \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{OB}\)	\(90^\circ\)	\(AO\) лежит на \(AC\), \(OB\) — на \(BD\), а \(AC\perp BD\)
д) \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OC}\)	\(180^\circ\)	\(O\) — середина \(AC\), векторы направлены в разные стороны
е) \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BD}\)	\(90^\circ\)	диагонали квадрата перпендикулярны
ж) \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{DB}\)	\(135^\circ\)	\(\angle ADB=45^\circ\), а \(\overrightarrow{AD}\) противоположен \(\overrightarrow{DA}\), поэтому \(180^\circ-45^\circ=135^\circ\)
з) \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{OC}\)	\(0^\circ\)	оба направлены вдоль \(AC\) от \(A\) к \(C\)