Реши задание на изображении
Краткие ответы
- Точка \(A(0;7)\) принадлежит графику, точка \(B(-2;31)\) — нет.
- \[ y=-x(5-x)=x^2-5x,\qquad -4\le x\le 4. \] Это часть параболы с вершиной \((2{,}5;-6{,}25)\).
- А) при \(x=-0{,}5;\ 2{,}5;\ 4\) получаем \(y=3;\ -12;\ -19{,}5\).
Б) при \(y=-1{,}5;\ 0;\ 2\) получаем \(x=0{,}4;\ 0{,}1;\ -0{,}3\). - Точка пересечения: \[ \left(\frac{5}{3};4\right). \]
- \[ x=-4. \]
1. Принадлежность точек графику
Если точка принадлежит графику \(y=12x+7\), то при подстановке её координат должно получиться верное равенство.
Для \(A(0;7)\): \[ 12\cdot 0+7=7. \] Получили \(7=7\), значит, \(A\) принадлежит графику.
Для \(B(-2;31)\): \[ 12\cdot(-2)+7=-24+7=-17. \] Но должно быть \(31\), а получилось \(-17\). Значит, \(B\) графику не принадлежит.
2. График функции \(y=-x(5-x)\)
Сначала раскроем скобки: \[ y=-x(5-x)=-5x+x^2=x^2-5x. \] Получилась квадратичная функция, её график — парабола, ветви направлены вверх.
Вершина: \[ x_0=\frac{5}{2}=2{,}5, \] \[ y_0=(2{,}5)^2-5\cdot2{,}5=6{,}25-12{,}5=-6{,}25. \] Значит, вершина параболы: \[ (2{,}5;-6{,}25). \]
Найдём нули функции: \[ x^2-5x=0, \] \[ x(x-5)=0, \] \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=5. \] Но в задании \(x\) меняется только от \(-4\) до \(4\), поэтому из нулей на этом промежутке есть только \(x=0\).
Точки для построения:
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(2{,}5\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(36\) | \(24\) | \(14\) | \(6\) | \(0\) | \(-4\) | \(-6\) | \(-6{,}25\) | \(-6\) | \(-4\) |
Нужно отметить эти точки и соединить их плавной линией. График существует только при \(-4\le x\le 4\), поэтому стрелки за эти пределы не рисуем.
3. Линейная функция \(y=-5x+0{,}5\)
А) Найти \(y\), если известно \(x\)
Подставляем каждое значение \(x\):
При \(x=-0{,}5\): \[ y=-5\cdot(-0{,}5)+0{,}5=2{,}5+0{,}5=3. \]
При \(x=2{,}5\): \[ y=-5\cdot2{,}5+0{,}5=-12{,}5+0{,}5=-12. \]
При \(x=4\): \[ y=-5\cdot4+0{,}5=-20+0{,}5=-19{,}5. \]
Ответ: \[ y=3;\quad -12;\quad -19{,}5. \]
Б) Найти \(x\), если известно \(y\)
Подставляем \(y\) в формулу и решаем уравнение.
При \(y=-1{,}5\): \[ -1{,}5=-5x+0{,}5, \] \[ -2=-5x, \] \[ x=0{,}4. \]
При \(y=0\): \[ 0=-5x+0{,}5, \] \[ 5x=0{,}5, \] \[ x=0{,}1. \]
При \(y=2\): \[ 2=-5x+0{,}5, \] \[ 1{,}5=-5x, \] \[ x=-0{,}3. \]
Ответ: \[ x=0{,}4;\quad 0{,}1;\quad -0{,}3. \]
4. Точка пересечения графиков
В точке пересечения значения \(y\) у обеих функций одинаковы. Приравниваем правые части: \[ 4=3x-1. \] Решаем: \[ 4+1=3x, \] \[ 5=3x, \] \[ x=\frac{5}{3}. \] Второе уравнение уже даёт \(y=4\).
Значит, точка пересечения: \[ \left(\frac{5}{3};4\right). \]
Проверка: \[ y=3\cdot\frac{5}{3}-1=5-1=4. \] Всё сходится.
5. Уравнение
\[ 3(x-2)=3x+(x-2). \]
Раскрываем скобки: \[ 3x-6=3x+x-2, \] \[ 3x-6=4x-2. \]
Переносим \(x\) в одну сторону, числа — в другую: \[ -6+2=4x-3x, \] \[ -4=x. \]
Значит: \[ x=-4. \]
Проверка: \[ 3(-4-2)=3(-6)=-18, \] \[ 3(-4)+(-4-2)=-12-6=-18. \] Левая и правая части равны, поэтому корень найден верно.
